数学B 第1章数列の一般項と和 — 等差数列

等差数列の一般項

等差数列の定義

数列とは何かでとりあげた貯金の例のように、初項 $a$ に順次、一定の数 $d$ (公差(common difference)という)を加えて得られる数列のことを等差数列(arithmetic sequence)という。

具体的に数列を書き表すと

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d と続く数列が並んでおり、隣り合う各項の間に「+d」を加えることを示す矢印が描かれている。

となる。

また、等差数列は漸化式を用いて

$a1=a an+1=an+d (n=1,2,3,\dots) ①$

と表すこともできる。

試しに、この漸化式 $①$ の $n$ に $1,2,3$ を代入すると、確かに $a+d,a+2d,a+3d$ が作られるのがわかる。

等差数列の一般項

この等差数列の第 $N$ 項つまり一般項 $aN$ は

「第 $N$ 項は初項 $a$ に $d$ を $N-1$ 個加えたもの」

と考えて

$aN=a+(N-1)d$

となるのはすぐにわかるだろう。

また、漸化式 $(1)$ から一般項 $aN$ を求める方法もみておこう。

STEP1

漸化式を $an+1-an=d$ と変形し、 $n$ に $1,2,3,\dots,N-2,N-1$ を代入し、得られる式を縦に並べておく。

$a2-a1=d a3-a2=d ⋮ aN-1-aN-2=d aN-aN-1=d$

STEP2

すべての式の辺々を加え合わせる。

$a2-a1=d a3-a2=d ⋮ aN-1-aN-2=d +)aN-aN-1=d aN-a1=(N-1)d$

よって、 $a1=a$ であることに注意して、次式を得る。

$aN=a+(N-1)d$

$n$ と $N$ を混合してもちいる

さきほどSTEP1で使った文字 $N$ は「ある $N$ 番目」という意味で用いた。ただし慣例では $“N”$ ではなく $“n”$ を使うので、今後このテキストでもこの慣例に従い、特別 $N$ を使用せずに $n$ を使うものとする。

しかし、こうするとSTEP1で「 $n$ に $1,2,3,\dots,n-2,n-1$ を代入」と表現されることになり「 $n$ に $n-1$ を代入する？」と誤解を招きやすい。

最初の $n$ は $1,2,3,\dots$ を代入するための変数であり、後の $n-2,n-1$ に含まれる $n$ は定数として用いられており、同じ $n$ でも別物として取り扱うことに注意しよう。

定義1等差数列の漸化式と一般項

初項 $a$ 、公差 $d$ の等差数列の漸化式は

$a1=a an+1=an+d (n=1,2,3,\dots)$

初項 $a$ 、公差 $d$ の等差数列の一般項 $an$ は

$an=a+(n-1)d (n=1,2,3,\dots)$

問題1等差数列の一般項～その１～

次の等差数列 ${an}$ の一般項 $an$ を求めよ。また、第10項を求めよ。

$2,5,8,11,14,\dots$
$100,98,96,94,92,\dots$

解答を見る

初項が2、公差が3の等差数列であり、第 $n$ 項(一般項)は初項 $a1$ に公差 $d$ を $n-1$ 回加えることによって求められるので

$an=2+(n-1)3=3n-1$

また、第10項は $a10=3・10-1=29$ である。
初項が100、公差が-2の等差数列だから

$an=100+(n-1)・(-2)=-2n+102$

また、第10項は $a10=-2・10+102=82$ である。

問題2等差数列の一般項～その２～

次の条件を満たす等差数列 ${an}$ の一般項を求めよ。

初項が $13$ 、第4項が $22$
第3項が $1$ 、第10項が $-13$

解答を見る

等差数列は公差が一定であるので、条件からまず公差を求めよう。初項から第4項までは、公差が3回足されるので、公差を $d$ とすると

$3d=a4-a1=22-13=9 ∴d=3$

$d=(a4-a1)/(4-1)$

よって、 $an=13+(n-1)・3=3n+10$ となる。

【別解】

等差数列の一般項は $an=a1+(n-1)d$ として与えられるので、問題の条件から $a1$ と $d$ の連立方程式を立てることができる。初項を $a$ 、公差を $d$ とすると

$a1=a=13 a4=a+3d=22$

となる。これらを連立させて解くと

$a=13,d=3$

よって、 $an=13+(n-1)・3=3n+10$ となる。
第3項から第10項までは、公差が7回足されるので、公差を $d$ とすると

$7d=a10-a3=-13-1=-14 ∴d=-2$

$d=a10-a310-3$

第10項から第 $n$ 項までは、公差が $n-10$ 回足されるので

$an=a10+(n-10)d =-13+(n-10)・(-2) =-2n+7$

【別解】

初項を $a$ 、公差を $d$ とすると

第3項が $1$ であるから $a+2d=1$

第10項が $-13$ であるから $a+9d=-13$

となる。これらを連立させて解くと

$a=5,d=-2$

よって、 $an=5+(n-1)・(-2)=-2n+7$ となる。

問題3等差数列の一般項～その３～

第12項が $43$ 、第27項が $223$ である等差数列がある。このとき、 $295$ はこの数列の第何項か。

解答を見る

この数列の初項を $a$ 、公差を $d$ とすると

$an=a+(n-1)d$

ここで $a12=43,a27=223$ であるから

$43=a+11d 223=a+26d$

これを解いて、 $a=-89,d=12$ 。

よって一般項 $an$ は

$an=-89+(n-1)・12=12n-101$

ここで $295$ が第 $n$ 項であるとすると

$295=12n-101$

これを解いて、 $n=33$ 。

したがって、 $295$ はこの数列の $第項第33項$ である。

等差数列の和

等差数列の和の求め方

ここでは、等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $Sn$ を求めてみよう。

STEP1

等差数列の一般項 $an=a+(n-1)d$ に、 $1,2,\dots,n-1,n$ を代入して足し合わせる式を書く。

$［1］［2］ Sn=a+(a+d) ［3］ +(a+2d)+\dots ［n-2］［n-1］ +{a+(n-3)d}+{a+(n-2)d} ［n］ +{a+(n-1)d}$

STEP2

この式の右辺を、逆に並べて書く。

$［n］［n-1］ Sn={a+(n-1)d}+{a+(n-2)d} ［n-2］ +{a+(n-3)d}+\dots ［3］［2］ +(a+2d)+(a+d) ［1］ +a$

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる。

S_nの式と、その項を逆順に並べた式を縦に足し算し、下段に2S_n＝{2a+(n-1)d}+{2a+(n-1)d}+…+{2a+(n-1)d}を導く筆算の計算式が書かれています。

右辺は全て $2a+(n-1)d$ であり、これが $n$ 個存在するので

$2Sn={2a+(n-1)d}\times n Sn=n/2{2a+(n-1)d}$

と表すことができる。これが求めたかった等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $Sn$ である。

なお、 $2a+(n-1)d=a1+an$ より

$Sn=n/2(a1+an)$

と表すこともできる。

以上、等差数列の和についてまとめておこう。

定理2等差数列の和

初項 $a$ 、公差 $d$ の等差数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ は

$Sn=n/2{2a+(n-1)d} =n/2(a1+an)$

と表せる。

問題4等差数列の和～その１～

次の等差数列 ${an}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ を求めよ。また、 $S10$ を求めよ。

$2,5,8,11,14,\dots$
$100,98,96,94,92,\dots$

解答を見る

初項が2、公差が3の等差数列だから、この数列の一般項 $an$ は

$an=2+(n-1)3=3n-1$

よって、初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ は

$Sn=n/2(a1+an)=n(3n+1)/2$

また、初項から第10項までの和 $S10$ は

$S10=10・(3・10+1)/2=155$
初項が100、公差が-2の等差数列だから、この数列の一般項 $an$ は

$an=100+(n-1)・(-2)=-2n+102$

よって、初項から第 $n$ 項までの和 $Sn$ は

$Sn=n/2(a1+an)=n(101-n)$

また、初項から第10項までの和 $S10$ は

$S10=10・(101-10)=910$

問題5等差数列の和～その２～

1から50までの整数のうち、次のような数の和を求めよ。

2の倍数
3の倍数
2または3の倍数

解答を見る

$A2={2,4,6,\dots,50}$ は、初項2、項数25、末項50の等差数列であるから、求める和 $S2$ は

$S2=1/2・25(2+50)=650$

$50\div2=25$ より、2の倍数は25個ある。
$A3={3,6,9,\dots,48}$ は、初項3、項数16、末項48の等差数列であるから、求める和 $S3$ は

$S3=1/2・16(3+48)=408$

$50\div3=16.6\dots$ より、3の倍数は16個ある。
6の倍数は、2の倍数としても3の倍数としても数えられており、二重に足されている。よって、2または3の倍数の和 $S$ は、 $S=S2+S3-S6$ で与えられるので、 $S6$ を求めればよい。 $A6={6,12,18,\dots,48}$ は、初項6、項数8、末項48の等差数列であるから、 $S6$ は

$S6=1/2・8(6+48)=216$

$50\div6=8.3\dots$ より、6の倍数は8個ある。

よって

$S=650+408-216=842$

問題6等差数列の和の最大値

一般項 $an$ が $an=-6n+120$ である数列 ${an}$ について、以下の問に答えよ。

初めて負になる項は第何項目か。
初項からの和が最大になるのは、第何項目までの和か。また、その和の最大値を求めよ。

解答を見る

$an=-6n+120$ が負になるのは

$-6n+120<0 \Leftrightarrow 6n>120 \Leftrightarrow n>20$

つまり、 $n=21$ のとき $an$ は負となる。よって、初めて負になるのは $第項目第21項目$ である。
1. より、初項から第20項までの項は、すべて正、あるいは0なので、 $S20$ が初項からの和の最大値となる。第21項以降はすべて負であり、これらを加えると和は小さくなるからである。また、 $a20=0$ であるから、 $S20=S19$ であり、こちらも最大値である。よって、和が最大になるのは、 $第項目または第項目第19項目または第20項目$ である。
このとき、最大値は

$S19=19/2・(a1+a19) =19/2・(114+6) =1140$

$S20=20/2・(a1+a20)=20/2・(114+0)=1140$

【別解】

一般項が $an=-6n+120$ である等差数列の和 $Sn$ は

$Sn=n/2{114+(-6n+120)} =n/2(-6n+234) =-3n²+117n$

となり、 $Sn$ が2次関数で与えられていることがわかる。下図のグラフより、 $n$ が整数であることに注意すると、この $Sn$ が最大値をとるのは $n=19,20$ のときである。

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学B 第1章 数列の一般項と和 — 等差数列

等差数列の一般項

等差数列の定義

等差数列の一般項

nとNを混合してもちいる

定義1等差数列の漸化式と一般項

問題1等差数列の一般項～その１～

問題2等差数列の一般項～その２～

問題3等差数列の一般項～その３～

等差数列の和

等差数列の和の求め方

定理2等差数列の和

問題4等差数列の和～その１～

問題5等差数列の和～その２～

問題6等差数列の和の最大値

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数学B 第1章数列の一般項と和 — 等差数列

$n$ と $N$ を混合してもちいる