数学II 第6章微分法 — 方程式・不等式への応用

前節までに学んだ関数のグラフを活用することにより、方程式の実数解の様子を調べたり、不等式を証明したりできるようになる。ここでは、その方法について考えてみよう。

方程式の解の個数

方程式の解の個数とグラフの関係

たとえば、方程式 $x³-6x²+9x-3=0 ①$ の実数解の個数はいくつかという問いを考えてみよう。

この方程式 $①$ の実数解は、関数 $y=x³-6x²+9x-3 ②$ のグラフと、 $x$ 軸との交点の $x$ 座標であるといえる。なぜなら、このグラフ $②$ と $x$ 軸（ $y=0$ ）の交点の $x$ 座標を求めるのには、連立方程式 $y=x³-6x²+9x-3 y=0$ を解くことになり、これから $y$ を消去すると結局、方程式 $①$ の実数解を求めることになるからである。したがって、 $①$ の実数解の様子は、 $②$ のグラフを調べることによって判断することができる。

$②$ を $x$ で微分すると $y'=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)$ となる。ここで、 $②$ の右辺を $f(x)=x³-6x²+9x-3$ とおくと、増減表は次の表のようになる。

$x$	$\dots$	$1$	$\dots$	$3$	$\dots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$↗$	$f(1)$	$↘$	$f(3)$	$↗$

いま、 $f(1)$ 、 $f(3)$ の値は $f(1)=1³-6・1²+9・1-3=1 f(3)=3³-6・3²+9・3-3=-3$ なので、 $②$ のグラフを描くと、次の図のようになる。

座標平面上に3次関数 y=x^3-6x^2+9x-3 の曲線が描かれ、点(1, 1)で極大、点(3, -3)で極小となっている。曲線は x 軸と3か所で交わり、その交点それぞれに「解」と書かれた矢印が向けられている。

この図より、 $②$ のグラフは $x$ 軸と3つの交点をもつので、方程式 $①$ は3つの実数解をもつことがわかる。

問題13次方程式の解の個数（定数を分離する方法）

$a$ を定数とするとき、方程式 $x³-3x²+a=0 ③$ について、以下の問いに答えよ。

方程式 $③$ が異なる3つの実数解をもつ $a$ の値の範囲を求めよ。
方程式 $③$ が異なる3つの実数解をもつとする。この解を $α, β, γ (α<β<γ)$ とおくとき、 $β$ のとり得る値の範囲を求めよ。

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与えられた方程式 $③$ は $a=-x³+3x²$ と変形できるので、この方程式の実数解は、 $y=-x³+3x²$ のグラフと $y=a$ のグラフの交点の $x$ 座標に等しい。

ここで、 $f(x)=-x³+3x²$ とおくと $f'(x)=-3x²+6x=-3x(x-2)$ となるので、 $f(x)$ の増減表は

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$↘$	$0$	$↗$	$4$	$↘$

となる。

上の増減表より、 $y=f(x)$ のグラフは次の図のようになる。

これに $y=a$ のグラフを重ねたとき、 $y=f(x)$ のグラフとの交点が3つになるとき、方程式 $③$ が3つの異なる実数解をもつ。

$y=a$ は $x$ 軸に平行な直線だから、交点が3つになるのは、この直線が極小値 $0$ と極大値 $4$ の間にあるときである。よって、このような $a$ の値の範囲は、上の図より $0<a<4$ である。
$y=f(x)$ と $y=a$ のグラフの交点の $x$ 座標が、方程式 $③$ の解である。

$α<β<γ$ であるから、 $β$ は3つの交点のうち真ん中のものの $x$ 座標である。よって、上の図より $β$ のとり得る値の範囲は、 $0<β<2$ となる。

問題23次方程式の解の個数（定数を分離できない場合）

$a$ を定数とするとき、方程式 $x³-3x²-3a(a-2)x-1=0 ④$ が異なる3つの実数解をもつ $a$ の値の範囲を求めよ。

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与えられた方程式 $④$ の実数解は、 $y=x³-3x²-3a(a-2)x-1$ のグラフと $x$ 軸（ $y=0$ のグラフ）の交点の $x$ 座標に等しい。

ここで、 $f(x)=x³-3x²-3a(a-2)x-1$ とおくと $f'(x)=3x²-6x-3a(a-2)=3(x-a)(x+a-2)$ となるので、 $x=a, -a+2$ で $f'(x)$ の値は $0$ となる。

ここで、 $a$ と $-a+2$ が等しい場合、つまり $a=-a+2 \Leftrightarrow a=1$ の場合には、 $f'(x)=3(x-1)²$ となる。

このとき、増減表は以下のようになる。

$x$	$\dots$	$1$	$\dots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$↗$		$↗$

このとき、 $f(x)$ は増加するだけなので、 $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸と3つの交点をもつことはない。したがって、以下、 $a\neq1$ の場合について考える。

$a\neq1$ の場合の増減表は、 $a$ と $-a+2$ のどちらが大きいかによって次の2種類になる。

$a<1$ のとき（このとき $a<-a+2$ ）

$x$	$\dots$	$a$	$\dots$	$-a+2$	$\dots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$↗$	$f(a)$	$↘$	$f(-a+2)$	$↗$

$a>1$ のとき（このとき $-a+2<a$ ）

$x$	$\dots$	$-a+2$	$\dots$	$a$	$\dots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$↗$	$f(-a+2)$	$↘$	$f(a)$	$↗$

$a<1$ の場合、 $f(a)$ が極大値、 $f(-a+2)$ が極小値である。 $y=f(x)$ と $x$ 軸が3つの交点をもつのは、極大値が $x$ 軸より上、極小値が $x$ 軸より下にあるときだから、その条件は $かつ f(a)>0 かつ f(-a+2)<0 ⑤$

x 軸と3点で交わる3次関数 y=f(x) の曲線。x=a で極大となりその点は x 軸より上にあることが上向きの矢印で、x=-a+2 で極小となりその点は x 軸より下にあることが下向きの矢印で示されている。

$a>1$ の場合は極大と極小が入れかわるので、 $y=f(x)$ と $x$ 軸が3つの交点をもつ条件は $かつ f(-a+2)>0 かつ f(a)<0 ⑥$

x 軸と3点で交わる3次関数 y=f(x) の曲線。x=-a+2 で極大となりその点は x 軸より上にあることが上向きの矢印で、x=a で極小となりその点は x 軸より下にあることが下向きの矢印で示されている。

これらの条件は、どちらも $f(a)$ と $f(-a+2)$ が異符号であることと同値であるから、 $⑤$ と $⑥$ は $f(a)・ f(-a+2)<0$ とまとめることができる。ここで $f(a)=-2a³+3a²-1=-(a-1)²(2a+1) f(-a+2)=(a-1)²(2a-5)$ であるから $f(a)f(-a+2)<0 \Leftrightarrow (a-1)⁴(2a+1)(2a-5)>0 \Leftrightarrow (2a+1)(2a-5)>0$

より、 $a<-1/2, 5/2<a$ が答えとなる。

微分法を用いた不等式の証明

不等式の証明について

$x≧0$ で、不等式 $x³≧6x²-9x$ を証明するためには、これと同値である $x³-6x²+9x≧0$ を証明すればよい。それには、 $x≧0$ で関数 $f(x)=x³-6x²+9x$ の増減を調べ、 $f(x)≧0$ を示せばよい。

問題3不等式の証明

$x≧0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $x³≧6x²-9x$

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$x³≧6x²-9x \Leftrightarrow x³-6x²+9x≧0$ であるから、 $f(x)=x³-6x²+9x$ が $x≧0$ で、常に $f(x)≧0$ となることを示せばよい。 $f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)$ となるので、 $x≧0$ における増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$	$3$	$\dots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$↗$	$4$	$↘$	$0$	$↗$

これより、 $y=f(x)$ のグラフは次の図のようになる。

曲線 y=x^3-6x^2+9x のうち、x が0以上の部分が実線、0より小さい部分が破線で描かれている。原点を出て点(1, 4)で極大となり、x 軸上の点(3, 0)で極小となってから右上へ伸びている。

増減表より、 $x≧0$ における $f(x)$ の最も小さい値は $f(0)=0$ と $f(3)=0$ であり、どちらも $0$ である。したがって、 $f(x)$ は $x≧0$ で常に $f(x)≧0$ を満たす。

問題4文字定数を含む不等式

$x≧0$ のとき、不等式 $x³-6x²>a$ が常に成り立つのは、定数 $a$ がどのような範囲にあるときか求めよ。

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［左辺 $-$ 右辺 $>0$ を考える方法］

$x³-6x²>a \Leftrightarrow x³-6x²-a>0$ であるから、 $f(x)=x³-6x²-a$ が $x≧0$ で、常に $f(x)>0$ となるための $a$ の値の範囲を求めればよい。 $f'(x)=3x²-12x=3x(x-4)$ となるので、 $x≧0$ における増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\dots$	$4$	$\dots$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$f(0)$	$↘$	$f(4)$	$↗$

また、 $f(0)$ 、 $f(4)$ の値は $f(0)=-a f(4)=4³-6・4²-a=-32-a$ である。

$x≧0$ で、常に $f(x)>0$ となるには、 $y=f(x)$ のグラフは次の図のようになればよい。

x が0以上の範囲だけ描かれた曲線 y=x^3-6x^2-a。y 軸上の -a から下がって x=4 で最小値 -32-a をとり、そこから右上へ伸びる。曲線全体が x 軸より上にあり、最小となる点から x 軸の 4 と y 軸の -32-a へ破線が引かれている。

増減表より、 $x≧0$ における $f(x)$ の最小値は $x=4$ のときの $f(4)=-32-a$ である。グラフ全体が $x$ 軸より上にあるには、この最小値が正であればよいから $-32-a>0 \Leftrightarrow a<-32$

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［文字定数を分離する方法］

$f(x)=x³-6x²$ とおく。この $f(x)$ が $x≧0$ で、常に $f(x)>a$ となるための $a$ の値の範囲を求めればよい。 $f'(x)=3x²-12x=3x(x-4)$ となるので、 $x≧0$ における増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\dots$	$4$	$\dots$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$f(0)$	$↘$	$f(4)$	$↗$

また、 $f(0)$ 、 $f(4)$ の値は $f(0)=0 f(4)=4³-6・4²=-32$ である。

$y=f(x)$ のグラフは次の図のようになる。

x が0以上の範囲だけ描かれた曲線 y=x^3-6x^2。原点 O を出て下がり、x=4 で最小値 -32 をとってから右上へ伸びる。最小となる点から x 軸の 4 と y 軸の -32 へ破線が引かれている。

$x≧0$ における $f(x)$ の最小値は $x=4$ のときの $-32$ である。 $x≧0$ で常に $f(x)>a$ となるのは、 $a$ がこの最小値より小さいときだから、求める範囲は $a<-32$ となる。

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学II 第6章 微分法 — 方程式・不等式への応用

方程式の解の個数

方程式の解の個数とグラフの関係

問題13次方程式の解の個数（定数を分離する方法）

問題23次方程式の解の個数（定数を分離できない場合）

微分法を用いた不等式の証明

不等式の証明について

問題3不等式の証明

問題4文字定数を含む不等式

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