数学II 第6章微分法 — 極限

この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。

極限の定義

極限の定義について

定義1極限の定義

関数 $f(x)$ において、 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、 $f(x)$ が定数α（アルファ）に限りなく近づくならば $limx\toaf(x)=α$ または $f(x)\toα (x\toa)$ と書き、この値 $α$ のことを、 $x\toa$ のときの $f(x)$ の極限値 (limit value) という。

また、 $f(x)$ は限りなく $α$ に近づくという意味で

$x\toa$ のとき、 $f(x)$ は $α$ に収束 (convergence)する

ということもある。

極限の考え方の基本～例1～

ここで、例として $f(x)=2x+1$ において $limx\to1f(x)$ がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば、 $x$ を $0.9$ からスタートして、 $0.99,0.999,0.9999,\dots$ と $1$ に近づけていくと $f(0.9)=2\times0.9+1=2.8 f(0.99)=2\times0.99+1=2.98 f(0.999)=2\times0.999+1=2.998 f(0.9999)=2\times0.9999+1=2.9998$ と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

$x$		$0.9$	$0.99$	$0.999$	$0.9999$	$\dots$
$f(x)$		$2.8$	$2.98$	$2.998$	$2.9998$	$\dots$

この表を右に続けていく、つまり $x$ を $1$ に近づけていくと、 $f(x)$ の値は $3$ に近づいていくことがわかる。

また、 $x$ を $1.5$ からスタートして、 $1.25,1.125,1.0625,\dots$ と、距離を半分ずつつめながら $1$ に近づけていくと $f(1.5)=2\times1.5+1=4 f(1.25)=2\times1.25+1=3.5 f(1.125)=2\times1.125+1=3.25 f(1.0625)=2\times1.0625+1=3.125$ と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

$x$		$1.5$	$1.25$	$1.125$	$1.0625$	$\dots$
$f(x)$		$4$	$3.5$	$3.25$	$3.125$	$\dots$

この表からも、 $x$ を $1$ に近づけると、 $f(x)$ は $3$ に近づくことがわかる。

以上2つの例からわかるように $limx\to1f(x)=3$ であるといえる。

この結果は、図の $y=f(x)$ のグラフから明らかであろう。

また、ここで $f(1)=3$ であるから、結果として $limx\to1f(x)=f(1)$ となっていることがわかる。

一般に、この $f(x)=2x+1$ のように、 $y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で途切れていないとき、 $limx\toaf(x)$ の値は $limx\toaf(x)=f(a) ①$ となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。

しかし、次の例のように、関数 $y=f(x)$ のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性があるので、極限値を求めるのに注意を要する。

座標平面に直線 y=2x+1 が描かれており、x=1、y=3 の位置にある点(1, 3)に向かって、直線上の下側と上側の両方向から矢印が向いている。

極限の考え方の基本～例2～

では、その例として、 $g(x)=(x²-1)/(x-1)$ において $limx\to1 g(x)$ がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば $x$ を $0.9$ からスタートして、 $0.99,0.999,0.9999,\dots$ と $1$ に近づけていくと $g(0.9)=(0.9²-1)/(0.9-1) =(0.9-1)(0.9+1)/(0.9-1)=1.9 g(0.99)=(0.99²-1)/(0.99-1) =(0.99-1)(0.99+1)/(0.99-1)=1.99 g(0.999)=(0.999²-1)/(0.999-1) =(0.999-1)(0.999+1)/(0.999-1) =1.999 g(0.9999)=(0.9999²-1)/(0.9999-1) =(0.9999-1)(0.9999+1)/(0.9999-1) =1.9999$ と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

$x$		$0.9$	$0.99$	$0.999$	$0.9999$	$\dots$
$g(x)$		$1.9$	$1.99$	$1.999$	$1.9999$	$\dots$

この表を右に続けていく、つまり $x$ を $1$ に近づけていくと、 $g(x)$ の値は $2$ に近づいていくことがわかる。

また、 $x$ を $1.5$ からスタートして、 $1.25,1.125,1.0625,\dots$ と、距離を半分ずつつめながら $1$ に近づけていくと $g(1.5)=(1.5²-1)/(1.5-1) =(1.5-1)(1.5+1)/(1.5-1)=2.5 g(1.25)=(1.25²-1)/(1.25-1) =(1.25-1)(1.25+1)/(1.25-1)=2.25 g(1.125)=(1.125²-1)/(1.125-1) =(1.125-1)(1.125+1)/(1.125-1) =2.125 g(1.0625)=(1.0625²-1)/(1.0625-1) =(1.0625-1)(1.0625+1)/(1.0625-1) =2.0625 ⋮$ と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

$x$		$1.5$	$1.25$	$1.125$	$1.0625$	$\dots$
$g(x)$		$2.5$	$2.25$	$2.125$	$2.0625$	$\dots$

この表からも、 $x$ を $1$ に近づけると、 $g(x)$ は $2$ に近づくことがわかる。つまり $limx\to1 g(x)=2$ であるといえる。

上の2つの計算では、 $g(x)$ の $x$ に値を代入してから約分して計算したが、 $x\neq1$ であるかぎり $g(x)=(x²-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1$ であるから、このように先に約分してから $x$ に値を代入する方が楽になる。

いま、 $g(x)$ の値は $x=1$ では（分母が $0$ になるので）定義されないが、 $limx\to1g(x)$ は $2$ として存在する、つまり $この値は存在してない！ limx\to1g(x)この値は2(1)存在してない！$ であることに注意しよう。

このことを、グラフで考えてみる。 $g(x)$ は $x\neq1$ で $g(x)=x+1$ と書けるので、 $y=g(x)$ のグラフは図のようになり、 $x=a$ で $g(x)$ が存在しなくても、 $limx\toag(x)$ は存在することがある。

座標平面上に関数 y=(x^2-1)/(x-1) の直線状のグラフがあり、点(1, 2)は白丸になっている。その白丸に向かって、直線の両側から矢印が向いている。

極限の計算法則

極限の計算法則について

さきほどの2つの例より $のとき f(x)=2x+1のときlimx\to1f(x)=3$ $のとき g(x)=(x²-1)/(x-1)のときlimx\to1g(x)=2$ であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 $h(x)=f(x)+g(x)=2x+1+(x²-1)/(x-1)$ の極限 $limx\to1h(x)$ は、 $x\neq1$ のとき $f(x)+g(x)=2x+1+(x²-1)/(x-1) =2x+1+(x-1)(x+1)/(x-1) =2x+1+x+1 =3x+2$ であるから $limx\to1h(x)=limx\to1{f(x)+g(x)} =limx\to1(3x+2)=5$ となる。これは、極限をとったあと足し合わせた $limx\to1f(x)+limx\to1g(x)=3+2=5$ という結果と等しくなる。つまり $limx\to1{f(x)+g(x)}=limx\to1f(x)+limx\to1g(x)$ が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。

和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。

定理2極限の計算法則

$limx\toaf(x)$ 、 $limx\toag(x)$ が存在するとき

$limx\toa{f(x)\pm g(x)}=limx\toaf(x)\pmlimx\toag(x)$ （複合同順）
$limx\toa{kf(x)}=k・limx\toaf(x)$

ただし、 $k$ は定数とする。
$limx\toaf(x)g(x)=limx\toaf(x)・limx\toag(x)$
$limx\toaf(x)/g(x)=limx\toaf(x)limx\toag(x)$

ただし、 $limx\toag(x)\neq0$ とする。

が成立する。

この定理を証明するためには、極限の定義をもっと厳密なものにする必要がある。厳密な極限の議論はFTEXT 数学IIIで行う。

最終更新: 2026-09-03

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