対数関数とは何か

対数関数の定義

$a>0,~a\neq1$のとき，正の実数$x $に対して

\begin{align} y=\log_a{x} \end{align}

で表される関数を，$a$を底てい（base）とする$x$の対数関数（logarithmic function）という．

この対数関数$y = \log_zx$のグラフがどのような形になるのかを調べるため，以下のように考えていく．

STEP1

まず，対数の定義より

\begin{align} y=a^x\Longleftrightarrow{x=\log_a{y}} \end{align}

であるから，指数関数$y = a^x$のグラフと，$x = \log_ay$のグラフは等しい．

STEP2

この$x = \log_ay$ を満たす点$(x,y)$の$x$ 座標と$y $座標を入れ換えたものが，対数関数$y = \log_ax$ を満たすものとなるから

$y = ax$と$y = \log_ax$ は，直線$y = x$ に関して対称なグラフ

となる．

これをもとに対数関数$y = \log_ax$のグラフについてまとめると次のようになる

指数関数$y = a^x$と対数関数$y = \log_ax$のグラフは，次のような関係になる．