数学II 第5章対数と対数関数 — 対数の計算法則

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この節の前提指数の拡張／対数の定義

対数の計算に関して、大変興味深いいくつかの計算方法が成り立つ。ここでは、その計算方法について見ていこう。

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

常用対数表には、 $10$ を底とする対数の概算値がまとめてある。この表によれば

$log102≒0.3010 , log104≒0.6021 , log108≒0.9031$

なので

$(log108=) log10(2・4)=log102+log104$

が成り立っているのがわかる。このような関係が成り立つのは偶然ではなく、一般的には次のようにまとめられる。

定理1和と差に関する対数の性質

$a$ は $a > 0, a\neq1$ を満たし、 $M > 0, N > 0$ とするとき

1. $logaMN=logaM+logaN$
1'. $logaM/N=logaM-logaN$

が成り立つ。

たとえば、 $log218 = log23 + log26$ 、 $log32/5 = log32 - log35$ などもいえる。

暗記1和と差に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

1. $a^xa^y=a^x+y$
1'. $a^x/a^y=a^x-y$

に、 $a$ を底とする対数を考えることにより、和と差に関する対数の性質

1. $logaMN=logaM+logaN$
1’. $logaM/N=logaM-logaN$

を証明せよ。

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1.指数法則 $a^xa^y=a^x+y$ ,において、 $a$ を底とする対数をとると

$logaa^xa^y=logaa^x+y \Leftrightarrow logaa^xa^y=x+y$

ここで、 $a^x = M, a^y = N$ とおくと、 $x = logaM, y = logaN$ なので

$logaMN=logaM+logaN$

1' 指数法則 $a^x/a^y=a^x-y$ において、 $a$ を底とする対数をとると

$logaa^x/a^y=logaa^x-y \Leftrightarrow logaa^x/a^y=x-y$

ここで、 $a^x = M, a^y = N$ とおくと、 $x = logaM, y = logaN$ なので

$logaM/N=logaM-logaN$

問題1和と差に関する対数の性質の練習

$a = log102, b = log103$ とするとき、次の対数を $a, b$ で表せ。

$log1012$
$log105$
$log101/30$
$log10225$

解答を見る

$log1012=log10(2・2・3) =log102+log102+log103 =2a+b$

$log105=log1010/2$ $=log1010-log102$

$=1-a$

$log101/30=log101/2・3・5$ $=log101-log10(2・3・5)$

$=0-(log102+log103+log105)$

$=-{a+b+(1-a)}$

$=-1-b$

$log10225=log10(5・5・3・3)$ $=log105+log105+log103+log103$ ,

$=(1-a)+(1-a)+b+b$ ,

$=2-2a+2b$

実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

常用対数表の表によれば

$log103≒0.4771 , log109≒0.9542$

なので

$2log103=log103² (=log109)$

が成り立っているのがわかる。このような関係が成り立つのは偶然ではなく、一般的には次のようにまとめられる。

定理2実数倍に関する対数の性質

$a$ は $a > 0, a\neq1$ を満たし、 $M > 0, r$ は任意の実数のとき

2. $logaM^r=rlogaM$

が成り立つ。

たとえば、 $log32³=3log32$ 、 $log2(3/5)⁴=4log23/5$ などもいえる。

暗記2実数倍に関する対数の性質の証明

実数に拡張された指数法則

2. $(a^x)^y=a^xy$

に、 $a$ を底とする対数を考えることにより、実数倍に関する対数の性質

2'. $logaM^r=rlogaM$

を証明せよ。

解答を見る

2.指数法則 $(a^x)^y = a^xy$ において、 $a$ を底とする対数をとると

$loga(a^x)^y=logaa^xy \Leftrightarrow loga(a^x)^y=xy$

ここで、 $a^x = M, y = r$ とおくと、 $x = logaM$ なので

$logaM^r=rlogaM$

問題2対数の計算-その1-

次の式を簡単にせよ。

$log1025+log104$
$log545+2log55/3$
$log372-3log32$
$log2\sqrt5-(1/2)log21/2-(3/2)log2\sqrt[3]10$

解答を見る

式を変形すると $log1025+log104$ $=log10(25\times4)$

和と差に関する対数の性質

$=log1010²=2$

対数の定義
式を変形すると $log545+2log55/3$ $=log545+log5(5/3)²$

実数倍に関する対数の性質

$=log545+log525/9$ $=log545\times25/9$

和と差に関する対数の性質

$=log55³=3$

対数の定義
式を変形すると $log372-3log32$ $=log372-log32³$

実数倍に関する対数の性質

$=log372/8$

和と差に関する対数の性質

$=log33²=2$

対数の定義
式を変形すると $log2\sqrt5-(1/2)log21/2-(3/2)log2\sqrt[3]10$ $=log25¹/2-log2(1/2)¹/2-log2(10¹/3)³/2$

実数倍に関する対数の性質

$=log25¹/2-log21/(2¹/2)-log210¹/2$ $=log2(5¹/2\times2¹/2)/(10¹/2)$

和と差に関する対数の性質。 $log21/(2¹/2)$ を引くので、 $2¹/2$ は分子にくる

$=log2(5¹/2\times2¹/2)/(2¹/2\times5¹/2)$ $=log21=0$

対数の定義

底の変換公式

底の変換公式について

ある対数の値は、底の違う別の対数の比で表すことができ

$logab=logcblogca$

となる。

この式を使えば、たとえば底が $2$ の対数である $log23$ も、常用対数表をもちいて

$log23=log103log102≒(0.4771/0.3010)≒1.585$

と計算することができる。

定理3底の変換公式

$a, b, c$ は正の数で、 $a\neq1, c\neq1$ のとき

3. $logab=logcblogca$

が成り立つ。特に、 $b = c$ のとき、 $logab=1logba$ である。

この公式を使うことにより、底の違う対数の和や差も、底をそろえ、計算できるようになる。これについては後の例題でみる。

暗記3底の変換公式の証明

$a^x = b$ が成り立っているとして、 $c$ を底とする対数を考えることにより、底の変換公式

3. $logab=logcblogca$

を証明せよ。ただし、 $a, b, c$ は正の数であり、 $a\neq1, c\neq1$ とする。

解答を見る

3.の証明

$a^x = b$ において、 $c$ を底とする対数を考えると

$logca^x=logcb \Leftrightarrow xlogca=logcb \Leftrightarrow x=logcblogca$

いま、 $a^x = b$ より $logab = x$ なので、 $logab=logcblogca$ が成立する。

問題3対数の証明-その2-

次の式を簡単にせよ。

$log9\sqrt27$
$log26-log49$
$log26-log2\sqrt27+log412$
$(log29+log83)(log316+log94)$

解答を見る

式を変形すると

$log9\sqrt27$ $=log93³/2$ $=(3/2)log93$

$=(3/2)log99¹/2$

$=3/2・1/2=3/4$

式を変形すると

$log26-log49$ $=log26-log29/log24$

$△$ 底の変換公式この問いのように対数の底が異なる場合は、まず底をそろえることを考えるとよい

$=log26-(1/2)log29$ $=log26-log29¹/2$

$=log26-log23$ $=log26/3$

$=log22=1$

式を変形すると

$log26-log2\sqrt27+log412$ $=log26-log23\sqrt3+log212/log24$

$=log26-log23\sqrt3+(1/2)log212$ $=log26-log23\sqrt3+log212¹/2$

$=log26-log23\sqrt3+log22\sqrt3$ $=log26・2\sqrt3/3\sqrt3$

$=log22²=2$

式を変形すると

$底をでそろえる底をでそろえる底の変換公式参照底の変換公式参照次の例題も参考 ◀ 底の変換公式参照 ◀ 底の変換公式参照次の例題も参考 (log29+log83)底を2でそろえる (log316+log94)底を3でそろえる =(log23²+log23/log22³) ・(log32⁴+log32²/log33²) （注）底の変換公式参照 =(2log23+log23/3) ・(4log32+log32) =(7/3)log23・5log32 =(35/3)log23・1/log23 （注）底の変換公式参照次の例題も参考 =35/3$

問題4底の変換公式の活用

次の問いに答えよ。

$logab・logbc=logac$ を証明せよ。ただし、 $a, b, c$ は正の数とし、 $a\neq1, b\neq1$ とする。
1.を利用して

$log23・log35・log58・log816$

を計算せよ。

解答を見る

式を変形すると

$logab・logbc =logab・logac/logab =logac$

式を変形すると

$log23・log35・log58・log816$ $=log25・log58・log816$

$=log28・log816$

$=log216=4$

対数と指数の関係

対数と指数の関係について

$a^x = M$ が成り立つとき、対数の定義より $logaM = x$ である。この $x = logaM$ を $a^x = M$ に代入することにより

$a^logaM=M$

が成り立つ。

この式が成り立つ理由は次のように考えられる。

まず、 $logaM$ は対数の定義から「 $a$ は何乗すると $M$ になるのか？」という問いの答えであった。そして、その値を実際に $a$ の指数としてもちいるのだから、それが $M$ になるのは当然である。

定理4対数と指数の関係

$a$ は $a > 0, a\neq1$ を満たし、 $M > 0$ のとき

4. $a^logaM=M$

が成り立つ。

問題5対数と指数の関係の利用

次の式を簡単にせよ。

$16^log23$
$25^log(1/5)4$

解答を見る

式を変形すると

$16^log23=2^4log23$ $=2^log23⁴$

$=3⁴$

$=81$

式を変形すると

$25^log(1/5)4=(1/5)^-2log(1/5)4$ $=(1/5)^log(1/5)4^-2$

$=4^-2$

$=1/16$

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学II 第5章 対数と対数関数 — 対数の計算法則

和と差に関する対数の性質

和と差に関する対数の性質について

定理1和と差に関する対数の性質

暗記1和と差に関する対数の性質の証明

問題1和と差に関する対数の性質の練習

実数倍に関する対数の性質

実数倍に関する対数の性質について

定理2実数倍に関する対数の性質

暗記2実数倍に関する対数の性質の証明

問題2対数の計算-その1-

底の変換公式

底の変換公式について

定理3底の変換公式

暗記3底の変換公式の証明

問題3対数の証明-その2-

問題4底の変換公式の活用

対数と指数の関係

対数と指数の関係について

定理4対数と指数の関係

問題5対数と指数の関係の利用

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