数学II 第5章対数と対数関数 — 対数の定義

この節の前提指数関数

第4章の指数と指数関数では、「2を2乗したり3乗したりするといくつになるのか」ということを考えてきた。この章では、逆に「2は何乗すると4や8になるのか」という視点から話をすすめていく。その中で「2は何乗すると5になるのか」の何乗のように、普通の分数のような形ではあらわせない数を表す方法である"対数"を以下で学んでいく。

対数の導入

$2^x=8$ や $2^x=1/2$ となる $x$ を求める

$2^x = 8$ や $2^x = 1/2$ となる $x$ を求める

$2^x = 8$ や $2^x = 1/2$ となる $x$ を求める

たとえば、指数関数 $y = 2^x$ で $y = 8$ とすると

$2^x=8$

となるが、 $2³ = 8$ であるから、この式を満たす $x$ は $3$ である。

また、 $y=1/2$ とすると

$2^x=1/2$

となるが、 $2^-1=1/2$ であるから、この式を満たす $x$ は $- 1$ である。

y=2^x のグラフで、y 軸上の 8 からグラフを経て x 軸上の 3 へ、y 軸上の 1/2 からグラフを経て x 軸上の -1 へとそれぞれ破線矢印で対応が示されている。y 軸との交点は 1 である。

$2^x=5$ となる $x$ を求める

$2^x = 5$ となる $x$ を求める

このように、 $y$ の値からすぐに $x$ の値が求まることもあるが、たとえば $y = 5$ として

$2^x=5$

となる $x$ の値は、下の例題でみるように無理数なので、小数や分数で表すことができない。

しかし、図からわかるように、 $2^x = 5$ となる $x$ が存在しているのは確かなので、このxを

$log25$

と表すことにする。

問題1 $log25$ が無理数であることの証明

$log25$ が無理数であることを証明せよ。

解答を見る

【解答：背理法】

$log25$ が有理数であると仮定する。 $log25$ は正の数なので、自然数 $m, n$ をもちいて $log25=m/n$ 、すなわち

$2^m/n=5$

と表せることになる。

しかし、両辺を $n$ 乗すると

$2^m=5^n$

となり、左辺は偶数、右辺は奇数となるので矛盾する。

よって、 $log25$ は無理数である。

対数の定義について

ここで、対数の定義をしておこう。

指数関数の定義でみたように、指数関数 $y = a^x$ のグラフでは、どのような正の実数 $M$ に対しても

$a^x=M$

となる $x$ の値がただ1つ定まる。この値を、 $a$ を底（base）とする $M$ の対数（logarithm）といい

$x=logaM$

で表す。また、この $M$ のことを $logaM$ の真数（anti-logarithm）という。

なお、指数関数の定義での $a > 0, a\neq1$ という条件は、対数でも同様とする。

また、 $a > 0$ のとき $a^x$ の値はつねに正であるから、 $a^x=M$ となる $x$ が存在するのは $M > 0$ のときに限る。したがって、 $logaM$ を考えるときの真数 $M$ は、つねに正でなければならない。

座標平面上にy軸と1で交わる曲線y=a^xがあり、y軸上の値Mから曲線を経てx軸上の「？」へと破線矢印が伸びている。その「？」を指して「log_a M と定める」と添えられている。

定義1対数の定義

$a > 0, a\neq1, M > 0$ のとき

$a^x=M \Leftrightarrow x=logaM$

とする。特に、 $logaa^x=x$ である。

たとえば、 $2$ を底とする $8$ の対数、すなわち $log28$ は、 $2³ = 8$ だから

$log28=log22³=3$

である。また、 $3$ を底とする $1/9$ の対数、すなわち $log31/9$ は、 $3^-2=1/9$ だから

$log31/9=log33^-2=-2$

である。

左に等式 a^x=M、右に等式 x=log_a M があり、中央の同値記号に加え、上側に左から右へ、下側に右から左へ向かう曲線の矢印が描かれている。

問題2指数を対数になおす

次の等式を $x = logaM$ の形に書きなおせ。

$3⁴=81$
$10^-2=0.01$
$16^-1/4=0.5$

解答を見る

「 $3$ の $4$ 乗は $81$ である」は「 $4$ は $3$ を底とする $81$ の対数である」ということと同じ。

つまり

$3⁴=81 \Leftrightarrow 4=log381$

「 $10$ の $- 2$ 乗は $0.01$ である」は「 $- 2$ は $10$ を底とする $0.01$ の対数である」ということと同じ。つまり

$10^-2=0.01 \Leftrightarrow -2=log100.01$

「 $16$ の $-1/4$ 乗は $0.5$ である」は「 $-1/4$ は $16$ を底とする $0.5$ の対数である」ということと同じ。つまり

$16^-1/4=0.5 \Leftrightarrow -1/4=log160.5$

問題3対数を指数になおす

次の等式を $a^x = M$ の形に書きなおせ。

$2=log10100$
$1/3=log82$
$-3=log51/125$

解答を見る

「 $2$ は $10$ を底とする $100$ の対数である」は「 $10$ の $2$ 乗は $100$ である」ということと同じ。

つまり

$2=log10100 \Leftrightarrow 10²=100$

「 $1/3$ は $を底とする 8を底とする$ 2の対数である」は「 $8$ の $1/3$ 乗は $2$ である」ということと同じ。つまり

$1/3=log82 \Leftrightarrow 8¹/3=2$

「 $- 3$ は $5$ を底とする $1/125$ の対数である」は「 $5$ の $- 3$ 乗は $1/125$ である」ということと同じ。つまり

$-3=log51/125 \Leftrightarrow 5^-3=1/125$

問題4定義から対数の値を求める

次の式の値を求めよ。

$log464$
$log279$
$log21/\sqrt2$
$log1/41/2$

解答を見る

$log464 = x$ とおくと

$log464=x \Leftrightarrow 4^x=64 \Leftrightarrow 4^x=4³$

$\Leftrightarrow x=3$

【別解】

対数の定義より $log464=log44³=3$

$log279 = x$ とおくと

$log279=x \Leftrightarrow 27^x=9 \Leftrightarrow 3^3x=3²$

$\Leftrightarrow 3x=2 \Leftrightarrow x=2/3$

$log21/\sqrt2=x$ とおくと

$log21/\sqrt2=x \Leftrightarrow 2^x=1/\sqrt2 \Leftrightarrow 2^x=2^-1/2$

$\Leftrightarrow x=-1/2$

$log1/41/2=x$ とおくと

$log1/41/2=x \Leftrightarrow (1/4)^x=1/2 \Leftrightarrow (1/2)^2x=1/2$

$\Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x=1/2$

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学II 第5章 対数と対数関数 — 対数の定義

対数の導入

2^x=8や 2^x=1/2となるxを求める

2^x=5となるxを求める

問題1log25が無理数であることの証明

対数の定義について

定義1対数の定義

問題2指数を対数になおす

問題3対数を指数になおす

問題4定義から対数の値を求める

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数学II 第5章対数と対数関数 — 対数の定義

$2^x=8$ や $2^x=1/2$ となる $x$ を求める

$2^x=5$ となる $x$ を求める

問題1 $log25$ が無理数であることの証明