数学II 第4章指数と指数関数 — 指数の拡張

今まで学んできた指数は自然数乗しか考えてこなかったが、ここでは指数法則をたよりに、実数乗の指数へ拡張していく。指数を拡張していく際に、累乗根が指数で表現されていく様子に注意しよう。

指数の整数への拡張

$3^-2$ の意味

$3^ - 2$ の意味

指数法則1.は、指数が自然数の場合、すなわち、正の整数の場合について成り立つ性質であるが、ここでは、指数を $0$ や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう。

仮に $3^ - 2$ という数があったとして、その意味について考えてみよう。 $3²$ が「 $3$ を $2$ かけた数」であったから、 $3^ - 2$ は「 $3$ を $- 2$ 回かけた数」とでもなるのであろうが、「 $- 2$ 回かける」では意味不明である。

そこで、「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え、その体系の中で矛盾が生じないよう「 $- 2$ 回かける」を決められないか（意味づけられないか）少し考えてみよう。

たとえば、 $3⁶\times3^-2$ という計算があったとして、これが指数法則1.を満たすとすると

$3⁶\times3^-2=3^6-2=3⁴$

となる。ここで、 $3^ - 2$ を $X$ で表すと

$3⁶\timesX=3⁴$

となる。この式を満たす $X$ を求めると、 $X=3⁴/3⁶=1/3²$ である。つまり、 $3^ - 2$ は $1/3²$ であると考えると都合がよい。

$3⁰$ の意味

また、 $3²\times3⁰$ という計算があったとして、これが指数法則1.を満たすとすると

$3²\times3⁰=3^2+0=3²$

となる。ここで、 $3⁰$ を $Y$ で表すと

$3²\timesY=3²$

となる。この式を満たす $Y$ を求めると、 $Y=3²/3²=1$ である。つまり、 $3⁰$ は $1$ であると考えると都合がよい。

指数の整数への拡張について

一般に、指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において、指数 $x$ が $0$ のときにも成り立つとすると

$a⁰a^y=a^0+y=a^y$

であるから、 $a⁰ = 1$ と考えると都合がよい。

さらに、指数法則1.が $x$ を正の整数として、 $y = - x$ のときにも成り立つとすると

$a^xa^-x=a^x-x=a⁰=1$

であるから、 $a^-x=1/a^x$ と考えると都合がよい（ $x$ が負の整数の場合も同様である）。

定義1整数に拡張された指数の定義

$0$ でない実数 $a$ に関して、 $x$ が整数のとき

$a⁰=1 , a^-x=1/a^x$

とする。

例として $a^n$ をいくつか列挙すると次のようになる。

$\dots , a³ , a² , a¹=a , a⁰=1 , a^-1=1/a , a^-2=1/a² , a^-3=1/a³ , \dots$

定理2整数に拡張された指数法則

整数 $x, y$ について次のような性質が成り立つ。ただし、 $a, b$ は $0$ でない実数とする。

1. $a^xa^y=a^x+y$
1. $(a^x)^y=a^xy$
1. $(ab)^x=a^xb^x$
1'. $a^x/a^y=a^x-y$
3'. $(a/b)^x=a^x/b^x$

問題1整数に拡張された指数

$x = 3, y = - 2$ として、整数に拡張された指数法則1.、2.、3.が成り立つのを確認せよ。

解答を見る

の確認

（左辺） $=a³a^-2=a³\times1/a²=a$

（右辺） $=a^3+(-2)=a$

となり、確かに成立する。

の確認

（左辺） $=(a³)^-2=1/(a³)²=1/a⁶$

（右辺） $=a^3・(-2)=a^-6=1/a⁶$

となり、確かに成立する。

の確認

（左辺） $=(ab)^-2=1/(ab)²=1/a²b²$

（右辺） $=a^-2b^-2=1/a²\times1/b²=1/a²b²$

となり、確かに成立する。

問題2整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

整数に拡張された指数法則1'.、3'.を、整数に拡張された指数法則1.、2.、3.を用いて証明せよ。

解答を見る

の証明

$a^x/a^y=a^x\times1/a^y=a^x\timesa^-y =a^x-y$

の証明

$(a/b)^x=(a\times1/b)^x=(a\times b^-1)^x$ $=a^x\times (b^-1)^x$

$=a^x\times b^-x$

$=a^x\times1/b^x=a^x/b^x$

問題3指数の計算-その1-

次の計算をせよ。

$2・2^-22^-3$
$10¹⁰2⁷・5⁵$
$(a²b)³/(-ab³)²$
$(a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵$

解答を見る

計算していくと

$2・2^-22^-3=2・2^-2・2³$

$=2^1-2+3$

$=2²=4$

計算していくと

$10¹⁰2⁷・5⁵=(10)¹⁰・2^-7・5^-5$

$=(2・5)¹⁰・2^-7・5^-5$ $=2¹⁰・5¹⁰・2^-7・5^-5$

$=2^10-7・5^10-5$

$=2³・5⁵=25000$

計算していくと

$(a²b)³/(-ab³)²=a⁶b³/a²b⁶$

$=a⁶b³a^-2b^-6$

$=a^6-2b^3-6$

$=a⁴b^-3$

計算していくと

$(a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵=a^-15b⁶a^-10b⁵$

$=a^-15b⁶a¹⁰b^-5$

$=a^-15+10b^6-5$

$=a^-5b$

指数の有理数への拡張

$3^1/2$ の意味

$3¹²$ の意味

$3¹²$ の意味

今度は、整数に拡張された指数法則2.を使って、指数を有理数に拡張することを考えよう。

たとえば、指数部分が有理数 $1/2$ である、 $3^1/2$ という数の意味は何だろうか。 $3²$ が「 $3$ を $2$ 回かけた数」であったから、 $3^1/2$ は「 $3$ を $1/2$ 回かけた数」とでもなるのであろうが、「 $1/2$ 回かける」では意味不明である。

そこで、やはり「指数なのだから指数法則を満たすだろう」と考え、その体系の中で矛盾を生じないように考えていくことにする。

たとえば、( $3¹/2)²$ という数があったとして、これが整数に拡張された指数法則2.を満たすとすると

$(3¹/2)²=3^1/2\times2=3¹$

となる。ここで、 $3¹/2$ を $X$ で表すと

$X²=3$

となる。この式を満たす $X$ は、 $3$ の平方根であるから、 $3¹/2$ は $\sqrt3$ であると考えられる（もうひとつの平方根 $-\sqrt3$ は $-3¹/2$ であると考えればよい）。

$3^2/3$ の意味

$3²³$ の意味

また、仮に $3²/3$ という数があったとして、これが整数に拡張された指数法則2.を満たすとすると

$(3²/3)³=3^2/3\times3=3²$

となる。ここで、 $3²/3$ を $Y$ で表すと

$Y³=3²$

となる。この式を満たす $Y$ は、 $3²$ の立方根であり、 $Y=\sqrt[3]3²$ となる。つまり、 $3²/3$ は $\sqrt[3]3²$ であると考えられる。

指数の有理数への拡張について

以上の話を一般化して、 $a > 0$ のとき、有理数 $x$ を指数とする数 $a^x$ を定義してみよう。

整数に拡張された指数法則2.が、 $x$ を $m/n$ 、 $y$ を $n$ （ $m, n$ は自然数）としても成り立つとすると

$(a^m/n)^n=a^m$

すなわち、 $n$ 乗すると $a^m$ になるので、 $a^m/n$ は $a^m$ の $n$ 乗根（のうち正の方） $\sqrt[n]a^m$ と考えればよい。

定義3有理数に拡張された指数の定義

$a > 0$ で、 $m$ を整数、 $n$ を自然数とするとき

$a^m/n=\sqrt[n]a^m$

とする。

たとえば、 $\sqrt[3]5=5¹/3, \sqrt[5]8=\sqrt[5]2³=2³/5$ である。

問題4指数と累乗

次のうち、 $a^m/n$ の形で表されたものは $\sqrt[n]a^m$ の形で表し、 $\sqrt[n]a^m$ の形で表されたものは $a^m/n$ の形で表せ。

$a¹/2$
$a²/5$
$a^-3/2$
$a^-2/5$
$\sqrt[5]a$
$\sqrt[3]a⁵$
$\sqrt[6]a^-3$
$1\sqrt[4]a³$

解答を見る

$a¹/2=\sqrta$
$a²/5=\sqrt[5]a²$
$a^-3/2=\sqrt[2]a^-3$
$a^-2/5=\sqrt[5]a^-2$
$\sqrt[5]a=a¹/5$
$\sqrt[3]a⁵=a⁵/3$
$\sqrt[6]a^-3=a^(-3)/6=a^-1/2$
$1\sqrt[4]a³=\sqrt[4]1/a³=\sqrt[4]a^-3=a^-3/4$

定理4有理数に拡張された指数法則

有理数 $x, y$ について次の等式が成り立つ。ただし、 $a, b$ は正の実数とする。

1. $a^xa^y=a^x+y$
1. $(a^x)^y=a^xy$
1. $(ab)^x=a^xb^x$
1'. $a^x/a^y=a^x-y$
3'. $(a/b)^x=a^x/b^x$

問題5有理数に拡張された指数

$p=2/3, q=1/3$ として、上の有理数に拡張された指数法則1.、2.、3.が成り立つのを確認せよ。

解答を見る

の確認

（左辺）

$=a^(2/3)a¹/3=\sqrt[3]a²\sqrt[3]a$ $=\sqrt[3]a³$

$=a$

（右辺）

$=a^2/3+1/3=a$

となり、確かに成立する。

の確認

（左辺）

$=(a²/3)¹/3=\sqrt[3]\sqrt[3]a²$ $=\sqrt[9]a²$

（右辺）

$=a^2/3\times1/3=a²/9=\sqrt[9]a²$

となり、確かに成立する。

の確認

（左辺） $=(ab)²/3=\sqrt[3](ab)²=\sqrt[3]a²b²$

（右辺） $=a^(2/3)b²/3=\sqrt[3]a²\sqrt[3]b²$

$=\sqrt[3]a²b²$

問題6指数の計算-その2-

次の値を求めよ。

$100¹/2$
$25^-1/2$
$8^-2/3$
$16^0.75$

解答を見る

$100¹/2=(10²)¹/2 =10^2\times1/2 =10$

$25^-1/2=(5²)^-1/2 =5^2\times(-1/2) =5^-1=1/5$

$8^-2/3=(2³)^-2/3 =2^3\times(-2/3) =2^-2=1/4$

$16^0.75=16⁷5/100=16³/4=(2⁴)³/4 =2^4\times3/4 =2³=8$

問題7累乗根の値を求める-その2-（再掲）

累乗根の値を求める-その2-の例題を、指数になおすことによって計算せよ。答えは根号を使わず、指数のままでよい。

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16$
$\sqrt[5]96\sqrt[5]3$
$\sqrt[3]216$
$\sqrt[3]\sqrt729$
$\sqrt[6]8$
$\sqrt[15]27$

解答を見る

$\sqrt[3]4\sqrt[3]16=\sqrt[3]2²\sqrt[3]2⁴$ $=2^(2/3)2⁴/3$

有理数に拡張された指数の定義

$=2^2/3+4/3$

有理数に拡張された指数法則1.

$=2²=4$
$\sqrt[5]96\sqrt[5]3=(96¹/5)/(3¹/5)$

$=(96/3)¹/5=32¹/5=(2⁵)¹/5$

$=2^5・1/5$

$=2$ 3. $\sqrt[3]216=\sqrt[3]6³=6$ 4. $\sqrt[3]\sqrt729=(729¹/2)¹/3$

$=729^1/2・1/3$

$=729¹/6=(3⁶)¹/6$ $=3^6・1/6$

$=3$ 5. $\sqrt[6]8=\sqrt[6]2³$ $=2³/6$

$=2¹/2$ 6. $\sqrt[15]27=\sqrt[15]3³$ $=3³/15$

$=3¹/5$

指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

$a > 0$ のとき、指数 $x$ が無理数の場合にも、 $a^x$ を定めることができる。たとえば、 $a^\sqrt2$ では、 $\sqrt2=1.4142\dots$ だから

$a¹ , a^1.4 , a^1.41 , a^1.414 , a^1.4142 , \dots$

を考えると、これらはある一定の値に近づいていくので、その値を $a^\sqrt2$ と定める。このようにして、無理数 $p$ に対して、 $a^p$ を定めると、指数法則が成り立つことが知られている。

定理5実数に拡張された指数法則

実数 $x, y$ について次の等式が成り立つ。ただし、 $a, b$ は正の実数とする。

1. $a^xa^y=a^x+y$
1. $(a^x)^y=a^xy$
1. $(ab)^x=a^xb^x$
1'. $a^x/a^y=a^x-y$
3'. $(a/b)^x=a^x/b^x$

最終更新: 2026-08-20

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質問の内容

数学II 第4章 指数と指数関数 — 指数の拡張

指数の整数への拡張

3^-2の意味

3⁰の意味

指数の整数への拡張について

定義1整数に拡張された指数の定義

定理2整数に拡張された指数法則

問題1整数に拡張された指数

問題2整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

問題3指数の計算-その1-

指数の有理数への拡張

3^1/2の意味

3^2/3の意味

指数の有理数への拡張について

定義3有理数に拡張された指数の定義

問題4指数と累乗

定理4有理数に拡張された指数法則

問題5有理数に拡張された指数

問題6指数の計算-その2-

問題7累乗根の値を求める-その2-（再掲）

指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

定理5実数に拡張された指数法則

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$3^-2$ の意味

$3⁰$ の意味

$3^1/2$ の意味

$3^2/3$ の意味