累乗と指数法則について

累乗と指数法則について

\FTEXT 数学Iで学んだように, 数$a$の$n$個の積 $ \begin{array}{c} n個 \\ \overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{} \end{array} $ を $a^n$と書き,「$a$の$n$乗」と読む.つまり

\[ \begin{array}{c} \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{}=a^n \\ n個 \qquad \end{array} \]

である. このとき,$a$の右上に乗っている数$n$のことを$a^n$の指数(index number)という. $a^1 = a$とし,特に,$a^2$のことを$a$の平方(square), $a^3$のことを$a$の立方(cube)という. また,$a,a^2,a^3,\cdots$を総称して$a$の累乗(power)という.

累乗に関して

  1. $a^2\times a^4= \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \times \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a\times a\times a}_{}) \\ 4個 \end{array} $
    $ =a^6~(=a^{2+4})$
  2. $(a^2)^4= \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} \begin{array}{c} \\ \\ (\underbrace{a\times a}_{}) \\ 2個 \end{array} $
    $ =a^8~(=a^{2\times4})$
  3. $(a\times b)^4$
    $ =(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)$
    $ =a^4\times b^4$

などの例からわかるように,一般に次のような指数法則(law of exponents)が成り立つ.

指数法則

$x,y$が自然数のとき,次の関係が成り立つ.

  1. $a^xa^y=a^{x+y}$
  2. $({a}^{x})^{y}=a^{xy}$
  3. $ (ab)^x=a^xb^x$