相乗平均とは何か

2つの $0$ 以上の数 $a_1，a_2$ について， $a_1$ と $a_2$ をかけて平方根をとった値，すなわち $\sqrt{a_1a_2}$ は， $a_1$ と $a_2$ の平均になっている．以下でそのことを確かめてみよう．

$a_1，a_2$ を $0\leqq a_1\leqq a_2$ を満たす数とすると，不等式の性質より

\begin{align} a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2 \ , \ \ a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \end{align}

が成り立つので

\begin{align} &a_1\cdot a_1\leqq a_1\cdot a_2\leqq a_2\cdot a_2 \\ \therefore~ &\sqrt{{a_1}^2}\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq\sqrt{{a_2}^2} \\ \therefore~ &a_1\leqq\sqrt{a_1a_2}\leqq a_2 \end{align}　　　　　　← 平方による比較

となり， $\sqrt{a_1a_2}$ は$a_1$ と $a_2$の平均になっているのがわかる．

このような平均のとり方を相乗平均という．

3つの正の数 $a_1，a_2，a_3$ の場合の相乗平均は， $\sqrt[3]{a_1a_2a_3}$ となる． ここで， $\sqrt[3]{a}$ は $a$ の3乗根といい，3乗すると $a$ となる数を表す． 一般の $n$ 乗根については累乗根を参照のこと．

相乗平均について，一般には次のようにまとめられる．