数学A 第1章 場合の数 — 残りの体系

この節の前提部屋割り（部屋に区別が無い場合）／資源配分（配分先に区別が無い場合）

残りの体系について

ボールと箱のモデル9

ここでは、ボールと箱のモデルにおける体系の最後として、 下表で空欄になっている部分（「あり・なし」「なし・なし」の行の「単射」の欄）、つまり

「区別する n 個のボールを、区別しない r 個の箱に高々1個配る場合の数」

と

「区別しない n 個のボールを、区別しない r 個の箱に高々1個配る場合の数」

について考えてみよう。

実はこれらは非常に単純で、 n≦r の場合に1通りとなるだけである。 箱に区別が無いので、どのボールがどの箱に入ったかという違いは残らず、 どの配り方も「ボールの入った箱が n 個、空の箱が r-n 個ある」という同じ形になってしまうからである。 例えば、区別する3個のボールを区別しない5個の箱に高々1個配る場合の数は

の1通りしかない。

同じようにボールを区別しない場合でも

の1通りしかない。

また、 n>r の場合には、すべての箱に1つずつボールを配っても、ボールが余ってしまうので0通りとする。

以上で、上の表で空欄になっていた「単射」の2つの欄も、 n≦r のとき1通り、 n>r のとき0通り、と埋まった。 これでボールと箱のモデルの体系はすべて出そろったことになる。

最終更新: 2026-09-03