数学I 第5章三角比 — 三角比の拡張

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この節の前提鋭角の三角比／関数

これまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた。より一般的な三角形を分析するための準備として、ここでは三角比の考えを直角・鈍角・ $0°$ へと拡張し、 $0°$ から $180°$ までの三角比を統一的に扱おう。

座標と三角比の関係

単位円

座標平面上の原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を単位円 (unit circle) という。

xy座標平面上に原点 O を中心とする円が描かれている。x 軸との交点には右側に 1、左側に -1、y 軸との交点には上側に 1、下側に -1 がそれぞれ記されている。三角比は、この単位円を用いて（ $90°$ 以上に）拡張される。

三角比の拡張について

三角比の定義を、斜辺が $1$ である直角三角形 $OPQ$ において考えてみよう。

すると、正弦、余弦、正接はそれぞれ $sinθ=PQ/OP=PQ cosθ=OQ/PO=OQ tanθ=QP/OQ=sinθ/cosθ$ と書ける。つまり、斜辺の長さが $1$ である直角三角形では

「対辺の長さは $sinθ$ の値を表し、底辺の長さは $cosθ$ の値を表す」

ことがわかる。

∠Qが直角である直角三角形OPQがあり、∠POQの大きさはθ、斜辺OPの長さは1である。辺OQに「底辺」、辺PQに「対辺」と添えられている。この $△OPQ$ を、図のように単位円の（上半分の）中に描いてみよう。そのようにすれば、

$P$ の $x$ 座標が $cosθ$
$P$ の $y$ 座標が $sinθ$

となる。

座標平面上に原点Oを中心とする半径1の半円がある。第一象限の周上に点P(cos θ, sin θ)があり、斜辺OPの長さが1、x軸との角がθ、Pからx軸へ下ろした垂線の足をQとする直角三角形OPQが描かれている。このように、「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと、角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる。そこで、 $0°≦θ≦180°$ の範囲にある角 $θ$ の三角比を、次のように定義しなおそう。

定義1三角比の拡張

点 $O$ を原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり、その周上に一点 $P$ をとる。

$x$ 軸の正の部分 $OX$ に対し、 $∠POX$ を $θ(0°≦θ≦180°)$ とするとき $点の座標点の座標点の座標点の座標直線の傾き cosθ=(点Pのx座標) sinθ=(点Pのy座標) tanθ=(点Pのy座標)/(点Pのx座標)=(直線OPの傾き)$ とする。

ただし、点 $P$ の $x$ 座標が $0$ のとき、つまり $θ=90°$ のときは $tanθ$ を定義しない。

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の半円上に点P(x, y)があり、線分OPの長さは1、x軸の正の部分とOPのなす角はθである。点Pのx座標にcos θ、y座標にsin θが添えられている。たとえば、 $θ$ が鈍角のときは次のようになる。

例： $120°$ の三角比

図より、 $cos120°=-1/2 sin120°=\sqrt3/2 tan120°=-\sqrt3$ （ $△OPQ$ が $QO:OP:PQ=1:2:\sqrt3$ の直角三角形であることに注意しよう。）
例： $180°$ の三角比

図より、 $cos180°=-1 sin180°=0 tan180°=0$

三角比の値のまとめ

角度が $0°$ 、 $30°$ 、 $45°$ 、 $60°$ 、 $90°$ 、 $120°$ 、 $135°$ 、 $150°$ 、 $180°$ の場合の三角比は、頭の中で次のような図を思い描き、素早く求められるようになろう。

座標平面上に描かれた半径1の半円において、0°から180°までの角度の位置にある円上の点から各軸へ点線が引かれ、各点のx座標とy座標の値が表されている。

問題1有名角の三角比

上の図をもとに下の表を完成させよ。

$θ$		$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$

$sinθ$
$cosθ$
$tanθ$

解答を見る

$θ$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$

$sinθ$	$0$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	$1$
$cosθ$	$1$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$tanθ$	$0$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$	なし

$θ$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$

$sinθ$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$cosθ$	$-1/2$	$-\sqrt2/2$	$-\sqrt3/2$	$-1$
$tanθ$	$-\sqrt3$	$-1$	$-1/\sqrt3$	$0$

三角比を含む方程式と不等式

問題2三角比を含む方程式

以下の式を満たす $θ$ を求めよ。ただし $0°≦θ≦180°$ とする。

$cosθ =-\sqrt3/2$
$sinθ=\sqrt2/2$
$tanθ=-\sqrt3$
$sinθ=1$

解答を見る

図のように、上半分の単位円周上において、 $x$ 座標が $-\sqrt3/2$ である点を取る。

このとき、 $△OPQ$ は辺の長さが $1:2:\sqrt3$ の直角三角形なので $∠POQ=30°$ つまり、 $θ=180°-30°=150°$ 。
図のように、上半分の単位円周上において、 $y$ 座標が $\sqrt2/2$ である点を取る。

そのような点は2つ存在し、 $△OPQ$ 、 $△OP'Q'$ とも直角二等辺三角形であるので $∠POQ=45° , ∠P'OQ'=45°$ つまり、 $θ=45°$ 、または、 $θ=180°-45°=135°$ 。
動径の傾きが $tan$ に一致するので、図のように、傾き $-\sqrt3$ の直線を引く。

$△OPQ$ は辺の長さが $1:2:\sqrt3$ の直角三角形なので $∠POQ=60°$ つまり、 $θ=180°-60°=120°$ 。
上半分の単位円周上において、 $y$ 座標が $1$ である点を取ればよい。

このとき、図より、 $θ=90°$ 。

問題3三角比を含む不等式

以下の式を満たす $θ$ を求めよ。ただし $0°≦θ≦180°$ とする。

$cosθ≦-\sqrt3/2$
$sinθ>\sqrt2/2$
$tanθ>-\sqrt3$

解答を見る

上半分の単位円周上において $座標の値 (x座標の値)≦-\sqrt3/2$ であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので $150°≦θ≦180°$ 。
上半分の単位円周上において $座標の値 (y座標の値)>\sqrt2/2$ であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので $45°<θ<135°$ 。
上半分の単位円周上において $動径の傾き (動径の傾き)>-\sqrt3$ であればよい。ただし、 $θ=90°$ のときは動径が $y$ 軸に重なり、その傾き、つまり $tanθ$ が定義されないので除く。そのようになるのは、図の太線部分であるので $0°≦θ<90°,120°<θ≦180°$ 。

拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係について

拡張された三角比においても、三角比の相互関係で学んだ三角比の相互関係 $tanθ=sinθ/cosθ, sin²θ+cos²θ=1 1+1/tan²θ=1/sin²θ, tan²θ+1=1/cos²θ$ が成り立つ。以下でこれらのことを確認してみよう。

図の単位円において $cosθ=x , sinθ=y$ であるから、 $tanθ$ は $tanθ=y/x=sinθ/cosθ$ と表すことができる。つまり $tanθ=sinθ/cosθ ①$ が成り立つ。また、三平方の定理より、 $x²+y²=1$ であるから $sin²θ+cos²θ=1 ②$ が成り立つ。ここで、 $sinθ\neq0$ かつ $cosθ\neq0$ 、つまり $θ\neq0°,90°,180°$ のとき、 $②$ の両辺を $sin²θ$ で割って、 $tanθ=sinθ/cosθ$ を用いると $1+cos²θ/sin²θ=1/sin²θ ∴1+1/tan²θ=1/sin²θ ③$ また、 $cosθ\neq0$ 、つまり $θ\neq90°$ のとき、 $②$ の両辺を $cos²θ$ で割って、 $tanθ=sinθ/cosθ$ を用いると $sin²θ/cos²θ+1=1/cos²θ ∴tan²θ+1=1/cos²θ ④$

座標平面上に原点Oを中心とする半径1の半円があり、動径OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする。点P(x, y)のx座標がcos θ、y座標がsin θ、OPの長さが1であることが描かれている。

定理2拡張された三角比の相互関係

角 $θ$ が $0°≦θ≦180°$ のとき、次の式が成り立つ。

$sinθ$ 、 $cosθ$ 、 $tanθ$ の関係 $tanθ=sinθ/cosθ (θ\neq90°)$
$sinθ$ と $cosθ$ の関係 $sin²θ+cos²θ=1$
$tanθ$ と $sinθ$ の関係 $1+1tan²θ=1sin²θ (θ\neq0°,90°,180°)$
$cosθ$ と $tanθ$ の関係 $tan²θ+1=1cos²θ (θ\neq90°)$

三角比どうしの関係と同じ問を、拡張された三角比の相互関係を使って解いてみよう。ただし、今回は $0°$ から $180°$ までの範囲で考える。

問題4拡張された三角比の相互関係の利用

拡張された三角比の相互関係を使って次の問に答えよ。ただし $0°≦α≦ 180°$ である。

$sinα=3/5$ のとき、 $cosα$ 、 $tanα$ の値を求めよ。
$cosα=1/3$ のとき、 $sinα$ 、 $tanα$ の値を求めよ。
$tanα=7$ のとき、 $cosα$ 、 $sinα$ の値を求めよ。

解答を見る

$sin²α+cos²α=1$ $cos²α=1-sin²α=1-(3/5)²=16/25$ よって、 $cosα=\pm\sqrt(16/25)=\pm4/5$ 。 $α$ が鋭角の場合と鈍角の場合の両方があり得るので、符号は1つに決まらない。

また、 $tanα=sinα/cosα$ より、

$のときのとき cosα=4/5のときtanα=(3/5)/(4/5)=3/4 cosα=-4/5のとき tanα=(3/5)/(-4/5)=-3/4$ 2.

$sin²α+cos²α=1$ より $sin²α=1-cos²α=1-(1/3)²=8/9$

$sinα≧0$ なので、 $sinα=\sqrt(8/9)=2\sqrt2/3$ 。

また、 $tanα=sinα/cosα$ より $tanα=(2\sqrt2/3)/(1/3)=2\sqrt2$ 3.

$tan²α+1=1/cos²α$ より $cos²α=1/(1+tan²α)=1/(1+7²)=1/50$ よって、 $cosα=\pm\sqrt(1/50)=\pm\sqrt2/10$ である。

また、 $tanα=sinα/cosα$ より $7=sinα/(\pm\sqrt2/10) ∴sinα=7\times(\pm\sqrt2/10)=\pm7\sqrt2/10$

$0α$ であるので、 $sinα=-7\sqrt2/10$ は不適。

よって $cosα=\sqrt2/10 , sinα=7\sqrt2/10$

問題5三角比の計算

次の式を簡単にせよ。

$(sinθ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)²$
$cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ)$

解答を見る

$(sin θ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)² =sin²θ+2sinθ+cos²θ +sin²θ -2sinθ+cos²θ =2(sin²θ+cos²θ) =2$ 2.

$cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ) =(cosθ(1-sinθ)-cosθ(1+sinθ))/(1+sinθ)(1-sinθ) =(-2cosθ)/(1-sin²θ) =-2cosθ/cos²θ =-2sinθ/cosθ =-2tanθ$

$90°+θ$ の三角比

図のように、単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $とする 90°+θ(=θ'とする)$ の動径 $OP'$ をとる。

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とすると、 $△OPQ$ と $△OP'Q'$ は合同なので、点 $P'$ の座標は $(-y,x)$ となるから $sinθ'=x=cosθ$ $cosθ'=-y=-sinθ$ $tanθ'=x/(-y)=-x/y=-1/tanθ$ と表すことができる。

単位半円上に角θを表す動径OPと、角θ'を表す動径OP'がある。点P(x, y)からx軸へ、点P'(-y, x)からy軸へ垂線を下ろした2つの直角三角形OPQとOP'Q'が描かれている。ここで、 $θ'=90°+θ$ であるから、次のようにまとめることができる。

定理3 $90°+θ$ の三角比

角 $θ$ が $0°≦θ≦90°$ の三角比において $sin(90°+θ)=cosθ$ $cos(90°+θ)=-sinθ$ $tan(90°+θ)=-1/tanθ (0°<θ<90°)$ が成り立つ。

座標平面上の単位半円において、角θを表す動径OP上の点P(x, y)に対し、角90°+θを表す動径OP'上の点P'の座標が(-y, x)になることが示されている。

これより、 $90°<θ≦180°$ の三角比は、 $0°<θ≦90°$ の三角比になおして、その値を求めることができる。

問題6 $90°+θ$ の三角比の利用

次の式を満たすように $［A］$ の中に $90°$ より小さい角を入れよ。

$sin100°=cos［A］$
$cos179°=-sin［A］$
$tan125°=-1/tan［A］$

解答を見る

$sin100°=sin(90°+10°)=cos10°$ 2.

$cos179°=cos(90°+89°)=-sin89°$ 3.

$tan125°=tan(90°+35°)=-1/tan35°$

$180°-θ$ の三角比

図のように、単位円周上に角 $θ$ の動径 $OP$ と角 $とする 180°-θ(=θ'とする)$ の動径 $OP'$ をとる。

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とすると、2点 $P$ 、 $P'$ は $y$ 軸に関して対称なので、点 $P'$ の座標は $(-x,y)$ となるから $sinθ'=y=sinθ$ $cosθ'=-x=-cosθ$ $tanθ'=y/(-x)=-y/x=-tanθ$ と表すことができる。

座標平面上の単位半円において、y軸に関して線対称な2点P(x, y)とP'(-x, y)があり、動径OPの表す角がθ、動径OP'の表す角がθ'で、θ'=180°-θである。ここで、 $θ'=180°-θ$ であるから、次のようにまとめることができる。

定理4 $180°-θ$ の三角比

角 $θ$ が $0°≦θ≦180°$ の三角比において $sin(180°-θ)=sinθ$ $cos(180°-θ)=-cosθ$ $tan(180°-θ)=-tanθ (θ\neq90°)$ が成り立つ。

これからも、 $90°<θ≦180°$ の三角比は、 $0°≦θ<90°$ の三角比になおして、その値を求めることができる。

問題7 $180°-θ$ の三角比の利用

次の式を満たすように $［A］$ の中に $90°$ より小さい角を入れよ。

$sin100°=sin［A］$
$cos179°=-cos［A］$
$tan125°=-tan［A］$

解答を見る

$sin100°=sin(180°-80°)=sin80°$ 2.

$cos179°=cos(180°-1°)=-cos1°$ 3.

$tan125°=tan(180°-55°)=-tan55°$

最終更新: 2026-09-09

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質問の内容

数学I 第5章 三角比 — 三角比の拡張

座標と三角比の関係

単位円

三角比の拡張について

定義1三角比の拡張

三角比の値のまとめ

問題1有名角の三角比

三角比を含む方程式と不等式

問題2三角比を含む方程式

問題3三角比を含む不等式

拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係について

定理2拡張された三角比の相互関係

問題4拡張された三角比の相互関係の利用

問題5三角比の計算

90°+θ の三角比

定理3 90°+θ の三角比

問題6 90°+θ の三角比の利用

180°-θ の三角比

定理4 180°-θ の三角比

問題7 180°-θ の三角比の利用

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数学I 第5章三角比 — 三角比の拡張

$90°+θ$ の三角比

定理3 $90°+θ$ の三角比

問題6 $90°+θ$ の三角比の利用

$180°-θ$ の三角比

定理4 $180°-θ$ の三角比

問題7 $180°-θ$ の三角比の利用