数学II 第6章微分法 — 接線とグラフ

最後に微分法の応用として、曲線と接線にまつわるいくつかの論点についてまとめる。

2つの曲線の接点

2つの曲線が接するということ

2つの曲線 $C:y=f(x)$ と $D:y=g(x)$ が $x=α$ で共通の接線をもつとき、この2つの曲線は $x=α$ で接するという。

曲線 $C$ の $x=α$ での接線の方程式は、『接線の方程式』より $傾き切片 y=f'(α)(x-α)+f(α) \Leftrightarrow y=f'(α)傾きx-α f'(α)+f(α)切片 ①$ また、曲線 $D$ の $x=α$ での接線の方程式も同様にして $傾き切片 y=g'(α)傾きx-α g'(α)+g(α)切片 ②$ となる。

この2つの直線 $①$ と $②$ が共通であるとは、傾きと切片がそれぞれ等しいということなので、 $f'(α)=g'(α)$ かつ $-α f'(α)+f(α)=-α g'(α)+g(α)$ 、つまり

$f'(α)=g'(α) f(α)=g(α)$

が成り立つ。まとめると次のようになる。

定義12つの曲線が接することの定義

2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=α$ で共通の接線をもつとき、この2つの曲線は $x=α$ で接する (contact) という。このことを式で表すと

$f'(α)=g'(α) f(α)=g(α)$

が成り立つということである。

この式が成り立つことをもって、2つの曲線が接することの定義とするので、たとえば次の図のように2つの曲線が交差している場合にも、共通の接線がある以上「接する」というので注意しよう。

実線の曲線 y=f(x) と破線の曲線 y=g(x) が1点で交わり、その交点で2つの曲線に共通の接線となる直線が引かれている。交点は黒丸で示され、直線には「共通の接線」と書き添えられている。2曲線は交差しているが共通の接線をもつので接するといえる例。

曲線が接するときに成り立つ定理

曲線 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ において、この2つの曲線が $x=α$ で接するとき、次の定理が成り立つ。

定理2曲線が接するときに成り立つ定理

多項式 $f(x)$ 、 $g(x)$ において $「曲線とがで接する」「方程式はを重解にもつ」 (A)「曲線 y=f(x) と y=g(x) が x=α で接する」 \Leftrightarrow (B)「方程式 f(x)=g(x) は x=α を重解にもつ」$ が成り立つ。

証明は次の例題を通じて考えてみよう。

暗記1「2つの曲線が接する」 $\Leftrightarrow$ 「重解をもつ」の証明

$x$ の多項式 $f(x)$ を $(x-α)²$ で割ったときの余りを $f(α)$ と $f'(α)$ をもちいて表せ。
1を用いて

「 $f(α)=0$ かつ $f'(α)=0$ 」 $\Leftrightarrow$ 「 $f(x)$ は $(x-α)²$ で割りきれる」

を証明せよ。
多項式 $f(x)$ 、 $g(x)$ において $「曲線とがで接する」「方程式はを重解にもつ」 (A)「曲線 y=f(x) と y=g(x) が x=α で接する」 \Leftrightarrow (B)「方程式 f(x)=g(x) は x=α を重解にもつ」$ を証明せよ。

解答を見る

$f(x)$ を $(x-α)²$ で割ったときの商を $Q(x)$ 、余りを $ax+b$ とおくと $f(x)=(x-α)²Q(x)+ax+b ③$ と表せる。

割る式 $(x-α)²$ が2次式なので、余りは1次以下の式、つまり $ax+b$ とおける

この式を $x$ で微分すると

『微分の計算法則』の3（積の微分法）と4を使った

$f'(x)=2(x-α)Q(x)+(x-α)²Q'(x)+a ④$

$③$ 、 $④$ の $x$ に $α$ を代入して $f(α)=aα+b f'(α)=a$ この2式を $a$ 、 $b$ について解くと、 $a=f'(α)$ 、 $b=f(α)-α f'(α)$ となるので、余りは $f'(α)x+f(α)-α f'(α)$ となる。
1より多項式 $f(x)$ は $f(x)=(x-α)²Q(x)+f'(α)x+f(α)-α f'(α)$ と表せるから

「 $(x-α)²$ で割りきれる」とは、余りの1次式 $f'(α)x+f(α)-α f'(α)$ が $0$ になるということ

$「がで割りきれる」かつかつ「f(x) が (x-α)² で割りきれる」 \Leftrightarrow f'(α)=0 かつ -α f'(α)+f(α)=0 \Leftrightarrow f'(α)=0 かつ f(α)=0$ となり、証明された。
(A) $\Rightarrow$ (B)の証明

「曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=α$ で接する」とは $cases f(α)=g(α) f'(α)=g'(α) cases \Leftrightarrow cases f(α)-g(α)=0 f'(α)-g'(α)=0 cases$ が成り立っているということである。

いま、見やすくするため $h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、この2式より $h(α)=0 h'(α)=0$ が成り立つから、2より $h(x)$ は $(x-α)²$ で割りきれる、つまり $h(x)=(x-α)²Q1(x)$ と書けるので、方程式 $h(x)=0$ 、つまり「方程式 $f(x)=g(x)$ は $x=α$ を重解にもつ」。

(A)(B)の証明

「方程式 $f(x)=g(x)$ は $x=α$ を重解にもつ」とは $f(x)-g(x)=(x-α)²Q2(x) ⑤$ と書けるということである。

いま、見やすくするため $f(x)-g(x)=i(x)$ とおくと、 $⑤$ より $i(x)=(x-α)²Q2(x)$ と書けるので、2より $i(α)=0 i'(α)=0$ が成り立つから、 $f(α)=g(α)$ かつ $f'(α)=g'(α)$ が成り立つ、つまり「曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=α$ で接する」。

問題1曲線外の点から引く接線～その1～

2次関数 $f(x)=x²-2x+2$ において、放物線 $y=f(x)$ の接線のうち点 $(1, 0)$ を通るものを次の2通りの方法で求めよ。

接点の $x$ 座標を $t$ とおく方法。
接線の傾きを $m$ とおく方法。

解答を見る

$f'(x)=2x-2$ であるから、接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線の方程式は $y=f'(t)(x-t)+f(t) \Leftrightarrow y=(2t-2)(x-t)+t²-2t+2 \Leftrightarrow y=(2t-2)x-t²+2 ⑥$ とおける。このとき、点 $(1, 0)$ を通るような $t$ の値は、 $⑥$ に $(1, 0)$ を代入して $0=(2t-2)・1-t²+2 \Leftrightarrow t²-2t=0 \Leftrightarrow t(t-2)=0$ を満たすものである。この $t$ の2次方程式の解は $t=0, 2$ となるのでこれを $⑥$ に代入して、 $y=-2x+2$ と $y=2x-2$ が求める接線となる。
点 $(1, 0)$ を通る直線の傾きを $m$ とおくと、この直線の方程式は $y=m(x-1) ⑦$ となる。この直線と $y=f(x)$ が接するのは、方程式 $m(x-1)=x²-2x+2$ が重解をもつときだから

『曲線が接するときに成り立つ定理』より

$m(x-1)=x²-2x+2 \Leftrightarrow x²-(m+2)x+m+2=0$ の判別式を考えて

重解をもつのは、判別式が $0$ になるとき

$(m+2)²-4(m+2)=0 \Leftrightarrow m²+4m+4-4m-8=0 \Leftrightarrow m²=4 \Leftrightarrow m=-2, 2$ これを $⑦$ に代入して、 $y=-2x+2$ と $y=2x-2$ が求める接線となる。

問題2曲線外の点から引く接線～その2～

3次関数 $f(x)=x³-3x²+6$ において、3次曲線 $y=f(x)$ の接線のうち点 $(0, 7)$ を通るものを次の2通りの方法で求めよ。

接点の $x$ 座標を $t$ とおく方法。
接線の傾きを $m$ とおく方法。

解答を見る

$f'(x)=3x²-6x$ であるから、接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線の方程式は $y=f'(t)(x-t)+f(t) \Leftrightarrow y=(3t²-6t)(x-t)+t³-3t²+6 \Leftrightarrow y=(3t²-6t)x-2t³+3t²+6 ⑧$ とおける。このとき、点 $(0, 7)$ を通るような $t$ の値は、 $⑧$ に $(0, 7)$ を代入して

$t=1$ を代入すると $2-3+1=0$ となるので、『因数定理』より左辺は $t-1$ でくくれる

$7=-2t³+3t²+6 \Leftrightarrow 2t³-3t²+1=0 \Leftrightarrow (t-1)²(2t+1)=0$ を満たすものである。この $t$ の3次方程式の解は $t=-1/2, 1$ となるのでこれを $⑧$ に代入して、 $y=(15/4)x+7$ と $y=-3x+7$ が求める接線となる。
点 $(0, 7)$ を通る直線の傾きを $m$ とおくと、この直線の方程式は $y=mx+7 ⑨$ となる。この直線と $y=f(x)$ が接するのは、方程式 $mx+7=x³-3x²+6$ が重解をもつときだから

『曲線が接するときに成り立つ定理』より

$mx+7=x³-3x²+6 \Leftrightarrow x³-3x²-mx-1=0$ の左辺が $(x-a)²(x-b)$ と因数分解される。つまり

重解を $a$ 、残りの解を $b$ とおいた

$x³-3x²-mx-1=(x-a)²(x-b) \Leftrightarrow x³-3x²-mx-1 =x³-(2a+b)x²+(2ab+a²)x-a²b$ となる実数 $a$ 、 $b$ が存在する。この両辺の係数を比較して $-3=-2a-b ⑩ -m=2ab+a² ⑪ -1=-a²b ⑫$ $⑩$ 、 $⑫$ から $b$ を消去すると

$⑩$ より $b=3-2a$ 。これを $⑫$ を整理した $a²b=1$ に代入すると $a²(3-2a)=1$ となる

$2a³-3a²+1=0 \Leftrightarrow (a-1)²(2a+1)=0 \Leftrightarrow a=-1/2, 1$ よって、 $(a, b)=(-1/2, 4), (1, 1)$ 。さらにこれらを $⑪$ に代入して、 $m=15/4, -3$ となるので、 $⑨$ より $y=-3x+7$ と $y=(15/4)x+7$ が求める接線となる。

問題33次曲線の接線とその3次曲線との交点

3次関数 $f(x)=x³-6x²+10x$ において、3次曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(1, 5)$ における接線を考える。この接線が、再びこの3次曲線と交わる点の座標を求めよ。

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$f'(x)=3x²-12x+10$ であるから、点 $(1, 5)$ における接線は $y=f'(1)(x-1)+5 \Leftrightarrow y=1・(x-1)+5 \Leftrightarrow y=x+4$ となる。この接線と $y=f(x)$ を連立して $y$ を消去すると

$x³-6x²+10x=x+4 \Leftrightarrow x³-6x²+9x-4=0 \Leftrightarrow (x-1)²(x-4)=0$ よって、求める点の $x$ 座標は $4$ であり、また $f(4)=4³-6・4²+10・4=8$ より、求める座標は $(4, 8)$ 。

【別解】

$y=f(x)$ 上の点 $(1, 5)$ における接線の方程式を $y=mx+n$ とおくと、 $y=f(x)$ と $y=mx+n$ は接するので、方程式

$x³-6x²+10x=mx+n \Leftrightarrow x³-6x²+(10-m)x-n=0$ は $x=1$ を重解にもつ。

他の解を $α$ とおくと、この式の左辺は $(x-1)²(x-α)$ と因数分解される。つまり $x³-6x²+(10-m)x-n=(x-1)²(x-α) \Leftrightarrow x³-6x²+(10-m)x-n =x³-(α+2)x²+(2α+1)x-α$ となる実数 $α$ が存在する。 $x²$ の係数を比較して $6=α+2 \Leftrightarrow α=4$ また、 $f(4)=4³-6・4²+10・4=8$ より、求める座標は $(4, 8)$ 。

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学II 第6章 微分法 — 接線とグラフ

2つの曲線の接点

2つの曲線が接するということ

定義12つの曲線が接することの定義

曲線が接するときに成り立つ定理

定理2曲線が接するときに成り立つ定理

暗記1「2つの曲線が接する」⇔「重解をもつ」の証明

問題1曲線外の点から引く接線～その1～

問題2曲線外の点から引く接線～その2～

問題33次曲線の接線とその3次曲線との交点

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数学II 第6章微分法 — 接線とグラフ

暗記1「2つの曲線が接する」 $\Leftrightarrow$ 「重解をもつ」の証明