数学II 第6章微分法 — 微分係数と導関数

ここでは、§6.1で学んだ瞬間の速度を、より一般的に扱うための方法について考えていこう。

平均変化率

平均変化率について

平均の速度で見たように、 $x-t$ グラフ上の2点を通る直線の傾きは平均速度を意味していた。ここでは $x-t$ グラフに限ることなく、一般の関数 $y=f(x)$ について、この平均速度にあたるものを考えてみよう。

関数 $y=f(x)$ において、 $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するとき $b-a$ を $x$ の増分 (increment of x) といい $Δx$ と表し $f(b)-f(a)$ を $y$ の増分 (increment of y) といい $Δy$ と表す。

また、 $x$ の増分に対する $y$ の増分の割合 $(f(b)-f(a))/(b-a) (=Δy/Δx)$ のことを、 $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率 (average rate of change) という。

曲線 y=f(x) 上の2点 (a, f(a)) と (b, f(b)) を通る直線 l が描かれ、xの増加量 Δx=b-a と yの増加量 Δy=f(b)-f(a) を底辺と高さとする直角三角形が点線で示されている。これは図の直線 $l$ の傾きを表す。

平均の速度 とは、 $x-t$ グラフにおける平均変化率のことであるといいかえられる。

微分係数と接線

微分係数の定義

瞬間の速度 で見たように、瞬間速度は平均速度 $Δx/Δt$ の $Δt$ を限りなく $0$ に近づけるときの極限値、つまり $limΔt\to0Δx/Δt$ として与えられた。ここでも $x-t$ グラフに限ることなく、一般の関数 $y=f(x)$ について、この瞬間速度にあたるものを考えてみよう。

関数 $f(x)$ において、 $Δx=x-a$ 、 $Δy=f(x)-f(a)$ とすると、 $a$ からある $x$ まで変化するときの平均変化率は $Δy/Δx=(f(x)-f(a))/(x-a)$ である。

xy平面上に曲線 y=f(x) と、その上の2点 (a, f(a))、(x, f(x)) を通る直線がある。2点の間には、底辺が Δx=x-a、高さが Δy=f(x)-f(a) となる直角三角形の補助線が添えられている。ここで、 $x$ を限りなく $a$ に近づけることにより $Δx=x-a$ は限りなく $0$ に近づき、このときこの平均変化率 $Δy/Δx$ の値が、ある決まった値に近づくならば、その極限値を関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 (differential coefficient) といい、 $f'(a)$ と表す。つまり $f'(a)=limx\toa(f(x)-f(a))/(x-a) ①$ と定義する。

微分係数の定義の別法

また、 $Δx=h$ 、つまり $x-a=h$ とおくと、 $x=a+h$ であるから $(f(x)-f(a))/(x-a)=(f(a+h)-f(a))/(a+h-a) =(f(a+h)-f(a))/h$ であり、 $x$ を $a$ に近づけることは $h$ を $0$ に近づけることに等しいから、微分係数 $f'(a)$ は $f'(a)=limh\to0(f(a+h)-f(a))/h$ と表すこともできる。

曲線 y=f(x) 上の2点 (a, f(a)) と (a+h, f(a+h)) を通る直線があり、xの増加量が Δx=h、yの増加量が Δy=f(a+h)-f(a) であることが示されている。まとめると次のようになる。

定義1微分係数

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は $f'(a)=limx\toa(f(x)-f(a))/(x-a)$ と定義する。 $x=a+h$ とおけば $f'(a)=limh\to0(f(a+h)-f(a))/h$ とも書ける。

問題1定義域から微分係数を求める～その1～

$f(x)=x²$ 、 $g(x)=x³$ とするとき、次の値を求めよ。

$f'(3)$
$g'(-2)$

解答を見る

微分係数 $f'(3)$ の定義より $定義よりなのでで約分した (f(x)-f(3))/(x-3) （注） f'(3)=limx\to3(f(x)-f(3))/(x-3) =(x²-3²)/(x-3) =(x²-9)/(x-3) =(x-3)(x+3)/(x-3) =x+3 （注）定義よりx\neq3なので, x-3で約分した \to6 (x\to3)$ よって、 $f'(3)=6$ 。

【別解】

$定義よりなのでで約分した (f(3+h)-f(3))/h （注） f'(3)=limh\to0(f(3+h)-f(3))/h =((3+h)²-3²)/h =(h²+6h)/h =h+6 （注）定義よりh\neq0なので, hで約分した \to6 (h\to0)$ よって、 $f'(3)=6$ 。
微分係数 $g'(-2)$ の定義より $を使った定義よりなのでで約分した (g(x)-g(-2))/(x-(-2)) （注） g'(-2)=limx\to-2(g(x)-g(-2))/(x-(-2)) =(x³-(-2)³)/(x+2) =(x+2)(x²-2x+4)/(x+2) （注） a³-b³ =(a-b)(a²+ab+b²)を使った =x²-2x+4 （注）定義よりx\neq-2なので, x+2で約分した \to12 (x\to-2)$ よって、 $g'(-2)=12$ 。

【別解】

$g(-2+h)-g(-2) =(-2+h)³-(-2)³ =12h-6h²+h³$ より $(g(-2+h)-g(-2))/h=12-6h+h² \to12 (h\to0)$

定義より $h\neq0$ なので、 $h$ で約分した

よって、 $g'(-2)=12$ 。

問題2定義域から微分係数を求める～その2～

$f(x)=2x²-4x+3$ 、 $g(x)=x³+2x²+1$ とするとき、次の値を求めよ。

$f'(3)$
$g'(-2)$

解答を見る

微分係数 $f'(3)$ の定義より $定義よりなのでで約分した (f(x)-f(3))/(x-3) （注） f'(3)=limx\to3(f(x)-f(3))/(x-3) =(2x²-4x+3-(2・3²-4・3+3))/(x-3) =(2(x²-3²)-4(x-3))/(x-3) =(2(x-3)(x+3)-4(x-3))/(x-3) =2x+2 （注）定義よりx\neq3なので, x-3で約分した \to8 (x\to3)$ よって、 $f'(3)=8$ 。

【別解】

$定義よりなのでで約分した (f(3+h)-f(3))/h （注） f'(3)=limh\to0(f(3+h)-f(3))/h ={2(3+h)²-4(3+h)+3 -(2・3²-4・3+3)}\divh =(8h+2h²)/h =8+2h （注）定義よりh\neq0なので, hで約分した \to8 (h\to0)$ よって、 $f'(3)=8$ 。
微分係数 $g'(-2)$ の定義より $定義よりなのでで約分した (g(x)-g(-2))/(x-(-2)) （注） g'(-2)=limx\to-2(g(x)-g(-2))/(x-(-2)) =[x³+2x²+1 -{(-2)³+2・(-2)²+1}] \div(x+2) =((x³+2³)+2(x²-2²))/(x+2) ={(x+2)(x²-2x+4) +2(x+2)(x-2)}\div(x+2) =x² （注）定義よりx\neq-2なので, x+2で約分した \to4 (x\to-2)$ よって、 $g'(-2)=4$ 。

【別解】

$g(-2+h)-g(-2) =(-2+h)³+2(-2+h)²+1 -{(-2)³+2・(-2)²+1} =4h-4h²+h³$ より $(g(-2+h)-g(-2))/h=4-4h+h² \to4 (h\to0)$

定義より $h\neq0$ なので、 $h$ で約分した

よって、 $g'(-2)=4$ 。

導関数

導関数とは何か

問題3 $＝ x＝a$ での微分係数を求める

$f(x)=x²$ とし、次の問いに答えよ。

$f'(a)$ を求めよ。
1の結果に $a=3$ 、 $-2$ を代入することにより、 $f'(3)$ 、 $f'(-2)$ を求めよ。

解答を見る

微分係数 $f'(a)$ の定義より $(f(a+h)-f(a))/h =((a+h)²-a²)/h =(a²+2ah+h²-a²)/h =2a+h \to2a (h\to0)$ よって、 $f'(a)=2a$ 。
1の $a$ に $a=3$ を代入することにより $f'(3)=6$ また、 $a=-2$ を代入することにより $f'(-2)=-4$ となる。

上の例題の2で求めた $f'(3)=6$ は、定義域から微分係数を求める～その1～ の1の答えと確かに一致する。

このように、同じ関数の微分係数は、いちいち定義式に戻り計算しなくても

「 $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を求めておいて、 $a$ に必要な値を代入する」

ことによって求められる。いいかたを変えれば、 $a$ を変数とみれば $f'(a)$ は $a$ の関数になっているということである。変数であることをわかりやすくするため、 $a$ を $x$ におきかえた $f'(x)$ を以下では使うことにする。

定理2導関数

関数 $f(x)$ において、極限 $limh\to0(f(x+h)-f(x))/h$ が存在するとき、これを $f(x)$ の導関数 (derived function) といい、 $f'(x)$ で表す。すなわち $f'(x)=limh\to0(f(x+h)-f(x))/h$ である。

導関数の表し方

関数 $y=f(x)$ の導関数の表し方にはいくつかあり、 $f'(x)$ の他にも $y'$ や $dy/dx$ や $(d/dx)f(x)$ で表すこともある。

$dy/dx$ は、 $x$ の増分 $h$ を $Δx$ 、 $y$ の増分 $f(x+h)-f(x)$ を $Δy$ としたとき $f'(x)=limΔx\to0Δy/Δx$ と書けることに由来する。 $dy/dx$ は「ディーエックスぶんのディー・ワイ」ではなく「ディーワイ、ディーエックス」と読む。

たとえば、 $y=x²$ の導関数は $や y'=2xやdy/dx=2x$ などと表す。

また、 $x$ の関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを、 $f(x)$ を $x$ について微分 (differential) するという。関数を微分した結果を示すのに $(x²)'=2x$ と書くこともある。

問題4導関数を求める

次の関数の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

$f(x)=x$
$f(x)=x²$
$f(x)=x³$
$f(x)=2x³-x²$

解答を見る

導関数 $f'(x)$ の定義より $(f(x+h)-f(x))/h=((x+h)-x)/h =1 \to1 (h\to0)$ よって、 $f'(x)=1$ となる。
導関数 $f'(x)$ の定義より $(f(x+h)-f(x))/h=((x+h)²-x²)/h =(2xh+h²)/h =2x+h \to2x (h\to0)$ よって、 $f'(x)=2x$ となる。
導関数 $f'(x)$ の定義より $(f(x+h)-f(x))/h=((x+h)³-x³)/h =(3x²h+3xh²+h³)/h =3x²+3xh+h² \to3x² (h\to0)$ よって、 $f'(x)=3x²$ となる。
導関数 $f'(x)$ の定義より $(f(x+h)-f(x))/h =(2(x+h)³-(x+h)²-(2x³-x²))/h =(2(3x²h+3xh²+h³)-(2xh+h²))/h =((6x²-2x)h+(3x-1)h²+h³)/h =6x²-2x+(3x-1)h+h² \to6x²-2x (h\to0)$ よって、 $f'(x)=6x²-2x$ となる。

$x^n$ の導関数

『導関数を求める』の例題から、 $(x)'=1$ 、 $(x²)'=2x$ 、 $(x³)'=3x²$ がわかった。このことより、 $n$ が自然数のとき $(x^n)'=nx^n-1$ が推測できる。

問題5 $x^n$ の導関数

$f(x)=x^n$ のとき、 $f'(x)=nx^n-1$ であることを証明せよ。ただし、 $n$ は自然数とする。

※FTEXT 数学Aで学んだ『2項定理』を使う。

解答を見る

2項定理より $f(x+h)=(x+h)^n =nC0x^n+nC1x^n-1h+ nC2x^n-2h²+\dots+nCnh^n$ であるから $であるからなのでと打ち消しあった(f(x+h)-f(x))/h ={nC0x^n+nC1x^n-1h+nC2x^n-2h² +…+nCnh^n-x^n}÷h =nC1x^n-1+nC2x^n-2h+…+nCnh^n-1 （注） nC0=1であるからnC0x^n=x^n なので-x^nと打ち消しあった →nC1x^n-1 (h→0) =nx^n-1$ つまり、 $f'(x)=nx^n-1$ である。

また、 $f(x)=1$ の導関数は $(f(x+h)-f(x))/h=(1-1)/h=0\to0 (h\to0)$ となり、 $x⁰=1$ であるから次のようにまとめることができる。

定理3 $x^n$ の導関数

$n$ は $0$ 以上の整数とする。関数 $f(x)=x^n$ の導関数 $f'(x)$ は $f'(x)=nx^n-1$ となる。

微分の計算法則

微分の計算法則について

微分の計算に関して、次のような法則が成り立つ。これらを使うと、複雑な関数の微分がより簡単にできる。

定理4微分の計算法則

関数 $f(x)$ 、 $g(x)$ の導関数 $f'(x)$ 、 $g'(x)$ が存在するとき

${f(x)\pmg(x)}'=f'(x)\pmg'(x)$
${kf(x)}'=kf'(x)$
${f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

（関数の積の微分法）
${f(ax+b)}'=af'(ax+b)$
${f(x)\pmg(x)}' =limh\to0[{f(x+h)\pmg(x+h)} -{f(x)\pmg(x)}]\divh =limh\to0[{f(x+h)-f(x)} \pm{g(x+h)-g(x)}]\divh =limh\to0{(f(x+h)-f(x))/h \pm((g(x+h)-g(x))/h)} =limh\to0(f(x+h)-f(x))/h \pmlimh\to0(g(x+h)-g(x))/h =f'(x)\pmg'(x)$
${kf(x)}' =limh\to0(kf(x+h)-kf(x))/h =klimh\to0(f(x+h)-f(x))/h =kf'(x)$
$のグラフは途切れていないからのとき {f(x)g(x)}' =limh\to0(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x))/h =limh\to0[{f(x+h)-f(x)}g(x+h) +f(x)g(x+h)-f(x)g(x)] \divh =limh\to0[{f(x+h)-f(x)}g(x+h) +f(x){g(x+h)-g(x)}]\divh =limh\to0{((f(x+h)-f(x))/h)g(x+h) +f(x)((g(x+h)-g(x))/h)} =limh\to0((f(x+h)-f(x))/h)g(x+h) +limh\to0f(x)(g(x+h)-g(x))/h （注） g(x)のグラフは途切れていないから, h\to0のときg(x+h)\to g(x) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
${f(ax+b)}' =limh\to0(f(a(x+h)+b)-f(ax+b))/h =limh\to0(f((ax+b)+ah)-f(ax+b))/h =limh\to0(f((ax+b)+ah)-f(ax+b))/ah \timesa =f'(ax+b)・a =af'(ax+b)$ ただし、 $ah$ で割るために $a\neq0$ とした。 $a=0$ のときは $f(ax+b)=f(b)$ が定数なので、両辺とも $0$ となり成り立つ。

問題6関数を微分する

次の関数を微分せよ。

$y=2x²-5x-3$
$y=(2/3)x³+(1/2)x-1/3$
$y=(x³+1)(x²+5)$
$y=(5x-2)⁴$

解答を見る

微分すると $y'=(2x²-5x-3)' =(2x²)'-(5x)'-(3)' =2(x²)'-5(x)'-(3)' =2・2x-5-0 =4x-5$
微分すると $y'=((2/3)x³+(1/2)x-1/3)' =((2/3)x³)'+((1/2)x)'-(1/3)' =2/3(x³)'+1/2(x)'-(1/3)' =2/3・3x²+1/2-0 =2x²+1/2$
微分すると $y'={(x³+1)(x²+5)}' =(x³+1)'(x²+5) +(x³+1)(x²+5)' =3x²(x²+5)+(x³+1)2x =5x⁴+15x²+2x$
微分すると $y'={(5x-2)⁴}' =5\times4(5x-2)³ =20(5x-2)³$

接線・法線の方程式

微分係数 $f'(a)$ の意味は、次の図の直線 $AT$ の傾きである。

座標平面上の曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) と点 B を通る直線が、点 B を点 A に近づけるにつれて点 A を通る接線 T に近づいていく様子を示している。一般に、曲線 $y=f(x)$ 上の2点 $A$ 、 $B$ をとり、点 $B$ をこの曲線上で点 $A$ に近づけていくとき、直線 $AB$ が点 $A$ を通るある直線 $AT$ に限りなく近づくならば、この直線 $AT$ を曲線 $y=f(x)$ の接線 (tangent) といい、この点 $A$ をこの接線の接点 (point of tangency) という。

つまり

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は、この関数のグラフ上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾き

である。

FTEXT 数学Iでも学んだように、傾きが $m$ で点 $(x0, y0)$ を通る直線の方程式は $y=m(x-x0)+y0$ と表せたので、次のようにまとめることができる。

定理5接線の方程式

関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ となる。

x軸、y軸のある座標平面上に曲線 y=f(x) があり、その上の点 (a, f(a)) における接線 y=f'(a)(x-a)+f(a) が描かれている。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ を通り、この点における接線に直交する直線のことを法線 (normal) という。接線の傾き $f'(a)$ に垂直な傾きは、 $f'(a)\neq0$ のとき $-1/f'(a)$ であるから、法線に関して次のようにまとめることができる。

定理6法線の方程式

関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における法線の方程式は、 $f'(a)\neq0$ のとき $y=-1/f'(a)(x-a)+f(a)$ となる。

$f'(a)=0$ のとき、法線の方程式は $x=a$ となる。

曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) における破線の接線 y=f'(a)(x-a)+f(a) と、接点で直交する実線の法線 y=-1/f'(a)(x-a)+f(a) が描かれている。

問題7曲線上の点が与えられた場合の接線の求め方

次の曲線において、与えられた $x$ 座標での曲線上の点における接線の方程式を求めよ。また、その点での法線の方程式も求めよ。

$y=x³-x$ 、 $x=2$
$y=-2x³+x²$ 、 $x=-1$
$y=x⁴+2x³$ 、 $x=-2$
$y=-x⁵$ 、 $x=1$

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まず、 $f(x)=x³-x$ とおくと $f(2)=2³-2=6$ であるから曲線上の点の座標は $(2, 6)$ とわかる。また、 $f'(x)=3x²-1$ より $f'(2)=3・2²-1=11$ 以上より、求める接線の方程式は $y=11(x-2)+6 \Leftrightarrow y=11x-16$ 法線の方程式は $y=-1/11(x-2)+6 \Leftrightarrow y=-(1/11)x+68/11$
まず、 $f(x)=-2x³+x²$ とおくと $f(-1)=-2(-1)³+(-1)²=3$ であるから曲線上の点の座標は $(-1, 3)$ とわかる。また、 $f'(x)=-6x²+2x$ より $f'(-1)=-6(-1)²+2(-1)=-8$ 以上より、求める接線の方程式は $y=-8(x+1)+3 \Leftrightarrow y=-8x-5$ 法線の方程式は $y=1/8(x+1)+3 \Leftrightarrow y=(1/8)x+25/8$
まず、 $f(x)=x⁴+2x³$ とおくと $f(-2)=(-2)⁴+2(-2)³=0$ であるから曲線上の点の座標は $(-2, 0)$ とわかる。また、 $f'(x)=4x³+6x²$ より $f'(-2)=4(-2)³+6(-2)²=-8$ 以上より、求める接線の方程式は $y=-8(x+2)+0 \Leftrightarrow y=-8x-16$ 法線の方程式は $y=1/8(x+2)+0 \Leftrightarrow y=(1/8)x+1/4$
まず、 $f(x)=-x⁵$ とおくと $f(1)=-1⁵=-1$ であるから曲線上の点の座標は $(1, -1)$ とわかる。また、 $f'(x)=-5x⁴$ より $f'(1)=-5・1⁴=-5$ 以上より、求める接線の方程式は $y=-5(x-1)-1 \Leftrightarrow y=-5x+4$ 法線の方程式は $y=1/5(x-1)-1 \Leftrightarrow y=(1/5)x-6/5$

問題8接線の傾きが与えられた場合の接線の求め方

次の曲線の接線のうち、与えられた傾きとなる接線の方程式を求めよ。

$y=x²-3x+2$ 、傾き $3$
$y=2x²-x+5$ 、傾き $7$
$y=x³+3x-2$ 、傾き $6$
$y=x³-6x$ 、傾き $6$

解答を見る

まず、 $f(x)=x²-3x+2$ とおくと、 $f'(x)=2x-3$ 。傾きが $3$ より $2x-3=3 \Leftrightarrow x=3$ また、 $f(3)=3²-3・3+2=2$ より、接点の座標は $(3, 2)$ 。

よって、求める接線の方程式は $y=3(x-3)+2 \Leftrightarrow y=3x-7$
まず、 $f(x)=2x²-x+5$ とおくと、 $f'(x)=4x-1$ 。傾きが $7$ より $4x-1=7 \Leftrightarrow x=2$ また、 $f(2)=2・2²-2+5=11$ より、接点の座標は $(2, 11)$ 。

よって、求める接線の方程式は $y=7(x-2)+11 \Leftrightarrow y=7x-3$
まず、 $f(x)=x³+3x-2$ とおくと、 $f'(x)=3x²+3$ 。傾きが $6$ より $3x²+3=6 \Leftrightarrow x=\pm1$ また、 $f(1)=1³+3・1-2=2$ 、 $f(-1)=(-1)³+3(-1)-2=-6$ より、接点の座標は $(1, 2)$ または $(-1, -6)$ 。

よって、求める接線の方程式は $y=6(x-1)+2 \Leftrightarrow y=6x-4 y=6(x+1)-6 \Leftrightarrow y=6x$ まとめると、 $y=6x-4, y=6x$
まず、 $f(x)=x³-6x$ とおくと、 $f'(x)=3x²-6$ 。傾きが $6$ より $3x²-6=6 \Leftrightarrow x=\pm2$ また、 $f(2)=2³-6・2=-4$ 、 $f(-2)=(-2)³-6(-2)=4$ より、接点の座標は $(2, -4)$ または $(-2, 4)$ 。

よって、求める接線の方程式は $y=6(x-2)-4 \Leftrightarrow y=6x-16 y=6(x+2)+4 \Leftrightarrow y=6x+16$ まとめると、 $y=6x-16, y=6x+16$

問題9曲線上の点以外の点が与えられた場合の接線の求め方

次の曲線の接線のうち、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。

$y=x²+1$ 、 $(2, 5)$
$y=2x²-3x+1$ 、 $(0, -1)$
$y=x³-1$ 、 $(0,-17)$
$y=x³+2x-6$ 、 $(4, 2)$

解答を見る

$f(x)=x²+1$ とおくと、 $f'(x)=2x$ 。 $(t, f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は $y=2t(x-t)+t²+1 \Leftrightarrow y=2tx-t²+1$ となる。これが $(2, 5)$ を通るとき $5=2t・2-t²+1 \Leftrightarrow t²-4t+4=0 \Leftrightarrow t=2$ よって、求める接線の方程式は $y=2・2・ x-2²+1 \Leftrightarrow y=4x-3$
$f(x)=2x²-3x+1$ とおくと、 $f'(x)=4x-3$ 。 $(t, f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は $y=(4t-3)(x-t)+2t²-3t+1 \Leftrightarrow y=(4t-3)x-2t²+1$ となる。これが $(0, -1)$ を通るとき $-1=-2t²+1 \Leftrightarrow 2t²-2=0 \Leftrightarrow t=\pm1$ よって、求める接線の方程式は $y=(4・1-3)x-2・1²+1 \Leftrightarrow y=x-1 y={4(-1)-3}x-2(-1)²+1 \Leftrightarrow y=-7x-1$ まとめると、 $y=x-1, y=-7x-1$ 。
$f(x)=x³-1$ とおくと、 $f'(x)=3x²$ 。 $(t, f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は $y=3t²(x-t)+t³-1 \Leftrightarrow y=3t²x-2t³-1$ となる。これが $(0, -17)$ を通るとき $-17=-2t³-1 \Leftrightarrow -2t³=-16 \Leftrightarrow t=2$ よって、求める接線の方程式は $y=3・2²x-2・2³-1 \Leftrightarrow y=12x-17$
$f(x)=x³+2x-6$ とおくと、 $f'(x)=3x²+2$ 。 $(t, f(t))$ における $f(x)$ の接線の方程式は $y=(3t²+2)(x-t)+t³+2t-6 \Leftrightarrow y=(3t²+2)x-2t³-6$ となる。これが $(4, 2)$ を通るとき $2=12t²+8-2t³-6 \Leftrightarrow -2t³+12t²=0 \Leftrightarrow t=0, 6$ よって、求める接線の方程式は $y=(3・0²+2)x-2・0³-6 \Leftrightarrow y=2x-6 y={3・6² +2}x-2・6³-6 \Leftrightarrow y=110x-438$ まとめると、 $y=2x-6, y=110x-438$ 。

問題102次関数と接線の交点～その1～

2次関数 $f(x)=(1/2)x²-4x+14$ について以下の問いに答えよ。

放物線 $y=f(x)$ 上の点 $A(2, 8)$ における接線 $l$ の方程式を求めよ。
放物線 $y=f(x)$ 上の点 $B(8, 14)$ における接線 $m$ の方程式を求めよ。
放物線 $y=f(x)$ と $l$ と $m$ を同一平面上に描き、 $l$ と $m$ の交点の $x$ 座標を求めよ。

解答を見る

$f'(x)=x-4$ であるから、点 $A(2, 8)$ における接線 $l$ の傾きは $f'(2)=2-4=-2$ となるので、 $l$ の方程式は $y=-2(x-2)+8 \Leftrightarrow y=-2x+12$
$f'(x)=x-4$ であるから、点 $B(8, 14)$ における接線 $m$ の傾きは $f'(8)=8-4=4$ となるので、 $m$ の方程式は $y=4(x-8)+14 \Leftrightarrow y=4x-18$
$l:y=-2x+12$ と $m:y=4x-18$ を連立して $y=-2x+12 y=4x-18$ を解くと、 $(x, y)=(5, 2)$ 。よって、 $l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は $5$ 。グラフは右のようになる。

問題112次関数と接線の交点

放物線 $y=ax²$ 上の2点 $A(s, as²)$ 、 $B(t, at²)$ における接線をそれぞれ $l$ 、 $m$ とするとき、 $l$ と $m$ の交点の $x$ 座標が、点 $A$ 、 $B$ の中点の $x$ 座標となることを示せ。ただし、 $s\neqt$ とする。

解答を見る

まず、接線 $l$ の方程式を求める。

$f(x)=ax²$ とおくと、 $f'(x)=2ax$ であるから、点 $A(s, as²)$ における $l$ の傾きは $f'(s)=2as$ となるので、 $l$ の方程式は $y=2as(x-s)+as² \Leftrightarrow y=2asx-as² ①$ 接線 $m$ も同様にして $y=2atx-at² ②$ $①$ と $②$ を連立して $y=2asx-as² y=2atx-at²$ 上式から下式をひいて $y$ を消去すると $2asx-as²=2atx-at² \Leftrightarrow 2ax(s-t)=a(s²-t²) \Leftrightarrow x=a(s+t)(s-t)/2a(s-t)=(s+t)/2$ よって、 $l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は、点 $A$ と点 $B$ の中点の $x$ 座標 $(s+t)/2$ とつねに等しくなる。

定理7放物線の接線の交点

放物線上の異なる2点 $A$ 、 $B$ における接線をそれぞれ $l$ 、 $m$ とするとき、 $l$ と $m$ の交点の $x$ 座標は点 $A$ 、 $B$ の中点の $x$ 座標と等しい。

最終更新: 2026-08-12

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質問の内容

数学II 第6章 微分法 — 微分係数と導関数

平均変化率

平均変化率について

微分係数と接線

微分係数の定義

微分係数の定義の別法

定義1微分係数

問題1定義域から微分係数を求める～その1～

問題2定義域から微分係数を求める～その2～

導関数

導関数とは何か

問題3＝x＝a での微分係数を求める

定理2導関数

導関数の表し方

問題4導関数を求める

x^nの導関数

問題5x^n の導関数

定理3x^n の導関数

微分の計算法則

微分の計算法則について

定理4微分の計算法則

問題6関数を微分する

接線・法線の方程式

定理5接線の方程式

定理6法線の方程式

問題7曲線上の点が与えられた場合の接線の求め方

問題8接線の傾きが与えられた場合の接線の求め方

問題9曲線上の点以外の点が与えられた場合の接線の求め方

問題102次関数と接線の交点～その1～

問題112次関数と接線の交点

定理7放物線の接線の交点

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数学II 第6章微分法 — 微分係数と導関数

問題3 $＝ x＝a$ での微分係数を求める

$x^n$ の導関数

問題5 $x^n$ の導関数

定理3 $x^n$ の導関数