指数の利用

指数で数を表すことの利点

地球と太陽の距離は約1億5000万kmであるが,これを10進法で表すと

\begin{align} 150000000~[\text{km}] \end{align}

となる.しかし,このように表すと一見何桁の数なのかわからず不便である.

このように大きな数を表すには,$10$を底とする指数を用いて

\begin{align} 1.5\times10^8~\text{km} \end{align}

とするとよい.このように表すことによって,$10^8$の部分を見ればこの数が$9$桁であることをすぐに読み取れる. また,計算する上でも便利になる.指数で数を表すことについて,一般に次のことがいえる.

指数を使って数を表す方法〜その1〜

$x\geqq1$を満たす$x$は,整数部分が$1$桁の数$a~(1\leqq{a}<10)$と,負でない整数$n$を使って

\begin{align} a\times10^n \end{align}

という形ただ$1$通りに表すことができ,このときこの数は最高位が$n+1$桁の数である.

また,赤血球の直径は$1\text{m}$の約1万2500分の1であるが,これを$10$進法で表すと

\begin{align} \dfrac{1}{125000}=0.000008~[\text{m}] \end{align}

となり,これも一見小数第何位に$0$でない数があるのかわかりづらい.

このような$0$に近い数を表すときにも,$10$を底とする指数を用いて

\begin{align} 8\times10^{-6} \end{align}

と表せば,$10 ^{− 6}$の部分をみることによって,この数が小数第$6$位にはじめて$0$でない数があらわれることがすぐに読み取れる. こちらの場合もまとめると次のようになる.

指数を使って数を表す方法〜その2〜

$0 < x < 1$を満たす$x$は,整数部分が$1$桁の数$a~(1\leqq{a}<10)$と,負の整数$n$を使って

\begin{align} a\times10^n \end{align}

という形でただ1通りに表すことができ,このとき小数第$n$位にはじめて$0$でない数があらわれる.

指数を使って数を表す

次の問いに答えよ.

  1. 地球から月までの距離は約$380000~[\text{km}]$である.これを,$a\times10^{n}~[\text{km}]$の形で表せ.ただし,$1\leqq{a}<10,n$は整数とする.

  2. 地球から太陽までの距離は約$150000000~[\text{km}]$である.このことと1.を利用して,地球から太陽までの距離は,地球から月までの距離の約何倍か求めよ.

  3. 水素原子の質量は約$0.0000000000000000000000017~[\text{g}]$である.これを,$a\times10^{n}~[\text{g}]$の形で表せ.ただし,$1\leqq{a}<10,n$は整数とする.

  4. 炭素原子の質量は約$0.000000000000000000000020~[\text{g}]$である.このことと3.を利用して,炭素原子の質量は,水素原子の質量の約何倍か求めよ.

  1. $380000=\boldsymbol{3.8\times10^{5}}$.

  2. $150000000=1.5\times10^{8}$であるから

    \begin{align} \dfrac{1.5\times10^8}{3.8\times10^5}=\dfrac{1.5}{3.8}\times10^3=394.7\cdots \end{align}

    より,約$\boldsymbol{395}$倍.

  3. $0.0000000000000000000000017$
    $=\boldsymbol{1.7\times10^{-24}}$.

  4. $0.000000000000000000000020$
    $=2.0\times10^{-23}$であるから

    \begin{align} \dfrac{2.0\times10^{-23}}{1.7\times10^{-24}}=\dfrac{2.0}{1.7}\times10=11.76\cdots \end{align}

    より,約$\boldsymbol{11.8}$倍.