対数関数のグラフ

点$(a,~b)$と点$(b,~a)$の関係

無題

無題

点$(a,b)$と点$(b,a)$の関係

座標平面上のある点$\text{A}(a,~b)~(a\neq b)$に対して,この点の$x$ 座標の値$a$ と$y$ 座標の値$b$ を交換した点$\text{B}(b,~a)$をつくる.

このとき,2点$\text{A},\text{B}$の中点の座標は$\left(\dfrac{a+b}{2},~\dfrac{a+b}{2}\right)$なので,直線$y = x$上にあることがわかる. また,2点$\text{A},\text{B}$を結ぶ直線は,傾きが$\dfrac{a-b}{b-a}=-1$なので,直線$y = x$と直交するのがわかる. 以上のことから,2点$\text{A},\text{B}$は,右図のように,直線$y = x $に関して対称となる.

このことを踏まえて,以下に述べる対数関数についてみていこう.

対数関数とは何か

対数関数とは何か

対数関数の定義

$a>0,~a\neq1$のとき,正の実数$x $に対して

\begin{align} y=\log_a{x} \end{align}

で表される関数を,$a$を底てい(base)とする$x$の対数関数(logarithmic function)という.

(注)

この対数関数$y = \log_zx$のグラフがどのような形になるのかを調べるため,以下のように考えていく.

STEP1

まず,対数の定義より

\begin{align} y=a^x\Longleftrightarrow{x=\log_a{y}} \end{align}

であるから,指数関数$y = a^x$のグラフと,$x = \log_ay$のグラフは等しい.

STEP2

この$x = \log_ay$ を満たす点$(x,y)$の$x$ 座標と$y $座標を入れ換えたものが,対数関数$y = \log_ax$ を満たすものとなるから

$y = ax$と$y = \log_ax$ は,直線$y = x$ に関して対称なグラフ

となる.

これをもとに対数関数$y = \log_ax$のグラフについてまとめると次のようになる

指数関数と対数関数のグラフ

無題

無題

指数関数$y = a^x$と対数関数$y = \log_ax$のグラフは,次のような関係になる.