指数の実数への拡張

指数の実数への拡張について

指数の実数への拡張について

指数$x$が無理数の場合にも,$a^x$を定めることができる.たとえば,$a^{\sqrt{2}}$では,$ \sqrt{2}=1.4142\cdots$だから

\begin{align} a^1~,~~a^{1.4}~,~~a^{1.41}~,~~a^{1.414}~,~~a^{1.4142}~,~~\cdots \end{align}

を考えると,これらはある一定の値に近づいていくので,その値を$a^{\sqrt{2}}$と定める. このようにして,無理数$p$に対して,$a^p$を定めると,指数法則が成り立つことが知られている.

実数に拡張された指数法則

実数$x,y$について次の等式が成り立つ.ただし,$a,b$は正の実数とする.

  • 1.$a^xa^y=a^{x+y}$
  • 2.$(a^x)^y=a^{xy}$
  • 3.$(ab)^x=a^xb^x $
  • 1'.$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
  • 3'.$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$